Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da soluçāo \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada abaixo e informar o valor de x_{3} (a terceira entrada da solução \vec{x}):
O que é pedido explicitamente: encontrar \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que resolve o problema dos mínimos quadrados para A\vec{x}=\vec{b} e retornar o valor de x_{3}.]
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobredeterminado ou possivelmente inconsistente, a solução de mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}. Geometricamente, isso equivale a exigir que o vetor residual \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b} seja ortogonal ao subespaço gerado pelas colunas de A. Matematicamente, isso leva às equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Essa é uma forma padrão e direta de obter a solução de mínimos quadrados; cada componente de A^{T}A é um produto interno entre colunas de A, e cada componente de A^{T}\vec{b} é o produto interno entre uma coluna de A e \vec{b}.
Passo 3
Calcular A^{T}A. Para clareza, escrevo as colunas de A:
Calcular A^{T}\vec{b}. Cada componente é o produto interno entre uma coluna de A e \vec{b}. Escrevo \vec{b}=\begin{pmatrix}-7\\\ -10\\\ 19\\\ 20\end{pmatrix} e calculo: