Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & -7 \\\\ -1 & -2 & -4 & -10 \\\\ 2 & 1 & 4 & 19 \\\\ -1 & -3 & 4 & 20 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da soluçāo \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada abaixo e informar o valor de x_{3} (a terceira entrada da solução \vec{x}):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & -7 \\\\ -1 & -2 & -4 & -10 \\\\ 2 & 1 & 4 & 19 \\\\ -1 & -3 & 4 & 20 \end{array}\right].
Extraindo A e \vec{b} da matriz aumentada:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & -2 & -4\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] -1 & -3 & 4 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-7\\[4pt]-10\\[4pt]19\\[4pt]20\end{pmatrix}.
O que é pedido explicitamente: encontrar \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que resolve o problema dos mínimos quadrados para A\vec{x}=\vec{b} e retornar o valor de x_{3}.]

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobredeterminado ou possivelmente inconsistente, a solução de mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}. Geometricamente, isso equivale a exigir que o vetor residual \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b} seja ortogonal ao subespaço gerado pelas colunas de A. Matematicamente, isso leva às equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Essa é uma forma padrão e direta de obter a solução de mínimos quadrados; cada componente de A^{T}A é um produto interno entre colunas de A, e cada componente de A^{T}\vec{b} é o produto interno entre uma coluna de A e \vec{b}.

Passo 3

Calcular A^{T}A. Para clareza, escrevo as colunas de A:
\begin{aligned} \mathbf{c}_{1} &= \begin{pmatrix}1\\\\ -1\\\\ 2\\\\ -1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{c}_{2} = \begin{pmatrix}0\\\\ -2\\\\ 1\\\\ -3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{c}_{3} = \begin{pmatrix}-1\\\\ -4\\\\ 4\\\\ 4\end{pmatrix}. \end{aligned}
Cada entrada (A^{T}A)_{ij} é o produto interno \mathbf{c}_{i}\cdot\mathbf{c}_{j}. Calculo cada produto interno (mostrando conta):
\begin{aligned} (A^{T}A)_{11} &= \mathbf{c}_{1}\cdot\mathbf{c}_{1} = 1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=1+1+4+1=7,\\[4pt] (A^{T}A)_{12} &= \mathbf{c}_{1}\cdot\mathbf{c}_{2} = 1\cdot0+(-1)(-2)+2\cdot1+(-1)(-3)=0+2+2+3=7,\\[4pt] (A^{T}A)_{13} &= \mathbf{c}_{1}\cdot\mathbf{c}_{3} = 1(-1)+(-1)(-4)+2\cdot4+(-1)\cdot4=-1+4+8-4=7,\\[4pt] (A^{T}A)_{22} &= \mathbf{c}_{2}\cdot\mathbf{c}_{2} = 0^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+(-3)^{2}=0+4+1+9=14,\\[4pt] (A^{T}A)_{23} &= \mathbf{c}_{2}\cdot\mathbf{c}_{3} = 0(-1)+(-2)(-4)+1\cdot4+(-3)\cdot4=0+8+4-12=0,\\[4pt] (A^{T}A)_{33} &= \mathbf{c}_{3}\cdot\mathbf{c}_{3} = (-1)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}+4^{2}=1+16+16+16=49. \end{aligned}
Como A^{T}A é simétrica, os elementos abaixo da diagonal coincidem com os acima. Logo:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\[4pt] 7 & 14 & 0\\[4pt] 7 & 0 & 49 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. Cada componente é o produto interno entre uma coluna de A e \vec{b}. Escrevo \vec{b}=\begin{pmatrix}-7\\\ -10\\\ 19\\\ 20\end{pmatrix} e calculo:
\begin{aligned} (A^{T}\vec{b})_{1} &= \mathbf{c}_{1}\cdot\vec{b} = 1(-7)+(-1)(-10)+2\cdot19+(-1)\cdot20=-7+10+38-20=21,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{2} &= \mathbf{c}_{2}\cdot\vec{b} = 0(-7)+(-2)(-10)+1\cdot19+(-3)\cdot20=0+20+19-60=-21,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{3} &= \mathbf{c}_{3}\cdot\vec{b} = (-1)(-7)+(-4)(-10)+4\cdot19+4\cdot20=7+40+76+80=203. \end{aligned}
Portanto
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}21\\[4pt]-21\\[4pt]203\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver as equações normais A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}. Escrevendo o sistema:
\begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\[4pt] 7 & 14 & 0\\[4pt] 7 & 0 & 49 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}21\\[4pt]-21\\[4pt]203\end{pmatrix}.
Para simplificar, divido cada equação por 7 (todas têm coeficiente 7 na primeira coluna), obtendo o sistema equivalente:
\begin{aligned} &x_{1}+x_{2}+x_{3}=3,\\[4pt] &x_{1}+2x_{2}=-3,\\[4pt] &x_{1}+7x_{3}=29. \end{aligned}
Agora resolvo por substituição. Da segunda equação:
x_{1}=-3-2x_{2}.
Substituo na primeira equação:
(-3-2x_{2})+x_{2}+x_{3}=3 \quad\Rightarrow\quad -3-x_{2}+x_{3}=3 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=6+x_{2}.
Substituo x_{1} e x_{3} na terceira equação:
(-3-2x_{2})+7(6+x_{2})=29.
Calculo o lado esquerdo:
-3-2x_{2}+42+7x_{2}=39+5x_{2}.
Igualando a 29:
39+5x_{2}=29 \quad\Rightarrow\quad 5x_{2}=-10 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=-2.
Então
x_{3}=6+x_{2}=6-2=4,
e
x_{1}=-3-2x_{2}=-3-2(-2)=-3+4=1.]

Passo 6

Conclusão: a solução de mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Portanto a terceira entrada é x_{3}=4.]

Resposta

(H) 4

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