e o vetor \vec{v}=(-12,-30,21,0,-7).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!) (A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5 (vou escrever apenas o quinto vetor porque é o que interessa aqui) e o vetor \vec{v}:
A pergunta é: calcular a quinta entrada x_5 do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} de \vec{v} na base \beta. Não é necessário resolver sistema linear.
Passo 2
Quando a base é ortogonal, se escrevemos
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+\cdots+x_5\vec{b}_5,
podemos obter cada coeficiente fazendo o produto interno com \vec{b}_j. A ideia é: multiplicar ambos os lados por \vec{b}_j e usar que \vec{b}_i\cdot\vec{b}_j=0 para i\neq j. Assim obtemos a fórmula (derivação curta):