Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 8 \\\\ 5 \\\\ 7 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 4 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ -3 \\\\ 9 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-12,-30,21,0,-7).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!) (A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5 (vou escrever apenas o quinto vetor porque é o que interessa aqui) e o vetor \vec{v}:
\vec{b}_5=\begin{bmatrix}-4\\\ -3\\\ 9\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{bmatrix}-12\\\ -30\\\ 21\\\ 0\\\ -7\end{bmatrix}.
A pergunta é: calcular a quinta entrada x_5 do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} de \vec{v} na base \beta. Não é necessário resolver sistema linear.

Passo 2

Quando a base é ortogonal, se escrevemos
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+\cdots+x_5\vec{b}_5,
podemos obter cada coeficiente fazendo o produto interno com \vec{b}_j. A ideia é: multiplicar ambos os lados por \vec{b}_j e usar que \vec{b}_i\cdot\vec{b}_j=0 para i\neq j. Assim obtemos a fórmula (derivação curta):
\vec{v}\cdot\vec{b}_j = x_j\,\vec{b}_j\cdot\vec{b}_j.
Portanto o coeficiente x_j vale
x_j=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_j}{\vec{b}_j\cdot\vec{b}_j}.
Aplicaremos essa fórmula para j=5.

Passo 3

Calcular o numerador \vec{v}\cdot\vec{b}_5 fazendo produto componente a componente:
\begin{aligned} \vec{v}\cdot\vec{b}_5 &=(-12)(-4)+(-30)(-3)+(21)(9)+(0)(1)+(-7)(-3)\\\ &=48+90+189+0+21. \end{aligned}
Somando:
48+90=138,\qquad 138+189=327,\qquad 327+21=348.
Logo
\vec{v}\cdot\vec{b}_5=348.

Passo 4

Calcular o denominador \vec{b}_5\cdot\vec{b}_5=\|\vec{b}_5\|^2 somando os quadrados das componentes:
\|\vec{b}_5\|^2 = (-4)^2+(-3)^2+9^2+1^2+(-3)^2 = 16+9+81+1+9.
Somando:
16+9=25,\qquad 25+81=106,\qquad 106+1=107,\qquad 107+9=116.
Logo
\|\vec{b}_5\|^2=116.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula
x_5=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_5}{\|\vec{b}_5\|^2}=\frac{348}{116}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{348}{116}=\frac{87}{29}=3.

Resposta

x_5=3 — alternativa (G)

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