Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto soluçảo do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} LD, nåo é subespaço vetorial.
III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=6 x+6\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II sảo verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III sảo verdadeiras.
(G) Só II e III sáo verdadeiras.
(H) Todas são verdaderias.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a veracidade das três afirmativas e escolher a alternativa correta entre (A)–(H). Vou listar claramente o que cada afirmativa diz e os dados que nos dão:
  • I. O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, é subespaço vetorial.
    • Dado: \vec{b}\neq\overrightarrow{0}.
  • II. O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependentes (LD), não é subespaço vetorial.
    • Dado: \vec{u} e \vec{v} são LD.
  • III. \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=6x+6\} é subespaço vetorial.
    • Dado: conjunto descrito por uma equação afim.
O que se pede: decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa e então selecionar a alternativa correta.

Passo 2

Lembrete útil (definição prática de subespaço): um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se, e somente se:
  1. W contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
  2. W é fechado sob soma: se \vec{a},\vec{b}\in W então \vec{a}+\vec{b}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se \vec{a}\in W e c\in\mathbb{R} então c\vec{a}\in W.
Um teste rápido usado com frequência na prova: se o conjunto não contém \overrightarrow{0}, já está eliminado como subespaço (porque a condição 1 falha). Outra observação: o complemento ortogonal de qualquer subconjunto de \mathbb{R}^n costuma ser um subespaço (vamos mostrar por que).

Passo 3

Analisando I: solução do sistema A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0}.
  • Teoria relevante: se o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução), então a forma geral das soluções é \{\vec{x}\} = \vec{x}_p + \operatorname{Null}(A),onde \vec{x}_p é uma solução particular ( A\vec{x}_p=\vec{b}) e \operatorname{Null}(A)=\{\vec{z}\mid A\vec{z}=\overrightarrow{0}\} é o núcleo (nulidade) de A, que é um subespaço vetorial.
  • Observação rápida e decisiva: A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. Como \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, o vetor \overrightarrow{0} não satisfaz A\vec{x}=\vec{b}. Portanto \overrightarrow{0}\notin\{\vec{x}\}.
  • Conclusão: qualquer conjunto de soluções de um sistema A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0} (quando consistente) é um deslocamento afim de \operatorname{Null}(A) e não contém \overrightarrow{0}; se o sistema for inconsistente, o conjunto solução é o conjunto vazio, que também não é subespaço porque não contém \overrightarrow{0}. Logo a afirmativa I é falsa.
Exemplo concreto (para fixar a ideia): considere A=(1\\\ 0) (linha) e \vec{b}=(1). As soluções são \{(1,t)\mid t\in\mathbb{R}\}. O vetor nulo (0,0) não pertence, então esse conjunto não é subespaço.

Passo 4

Analisando II: o complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} quando \vec{u},\vec{v} são LD, a afirmativa diz que esse complemento não é subespaço.
  • Definição e propriedade importante: para qualquer conjunto S\subseteq\mathbb{R}^n define-se o complemento ortogonal S^{\perp}=\{\vec{w}\in\mathbb{R}^n \mid \vec{w}\cdot\vec{s}=0\\ \text{para todo}\\ \vec{s}\in S\}.
  • Verificação das propriedades de subespaço para S^{\perp}:
    1. \overrightarrow{0}\in S^{\perp} porque \overrightarrow{0}\cdot\vec{s}=0 para todo \vec{s}.
    2. Se \vec{w}_1,\vec{w}_2\in S^{\perp} então, para todo \vec{s}\in S, (\vec{w}_1+\vec{w}_2)\cdot\vec{s}=\vec{w}_1\cdot\vec{s}+\vec{w}_2\cdot\vec{s}=0+0=0,logo \vec{w}_1+\vec{w}_2\in S^{\perp}.
    3. Se \vec{w}\in S^{\perp} e c\in\mathbb{R}, então (c\vec{w})\cdot\vec{s}=c(\vec{w}\cdot\vec{s})=c\cdot 0=0, logo c\vec{w}\in S^{\perp}.
  • Conclusão: para qualquer S, inclusive S=\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} mesmo quando \vec{u},\vec{v} são LD, tem-se S^{\perp} é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa II (que diz que não é subespaço) é falsa.
Comentário de intuição: se \vec{u},\vec{v} são LD, então \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é só uma reta ou o zero, e o conjunto de vetores ortogonais à essa reta é um plano (ou todo \mathbb{R}^n etc.), sempre subespaço.

Passo 5

Analisando III: o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=6x+6\}.
  • Teste rápido do vetor nulo: o vetor nulo em \mathbb{R}^3 é \overrightarrow{0}=(0,0,0). Substituindo na equação: y=6x+6 \quad \Rightarrow\quad 0 \stackrel{?}{=} 6\cdot 0 + 6 = 6,o que é falso. Portanto \overrightarrow{0}\notin\{(x,y,z)\mid y=6x+6\}.
  • Como o conjunto não contém o vetor nulo, falha a condição 1 da definição de subespaço, logo não é subespaço vetorial.
  • Outra maneira de ver: a equação é afim (tem termo constante +6), isto indica que é uma tradução de uma subvariedade linear; geometrically é um plano paralelo a um plano linear, deslocado, e planos deslocados que não passam pela origem não são subespaços.
Exemplo numérico para ver fechamento falhar: o vetor (1,12,0) satisfaz y=6\cdot1+6=12. Porém o escalar 0\cdot(1,12,0)=(0,0,0) não pertence ao conjunto, então não há fechamento por multiplicação escalar.
Portanto a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Resumo das verificações:
  • I é falsa (conjunto solução com \vec{b}\neq\overrightarrow{0} não contém \overrightarrow{0} e, em geral, é um conjunto afim).
  • II é falsa (o complemento ortogonal de qualquer span é sempre subespaço).
  • III é falsa (o conjunto não contém o vetor nulo; é um plano afim deslocado).
Com isso, todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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