Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto soluçảo do sistema
, onde
é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de span
LD, nåo é subespaço vetorial.
III.
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II sảo verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III sảo verdadeiras.
(G) Só II e III sáo verdadeiras.
(H) Todas são verdaderias.
I. O conjunto soluçảo do sistema
II. O complemento ortogonal de span
III.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II sảo verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III sảo verdadeiras.
(G) Só II e III sáo verdadeiras.
(H) Todas são verdaderias.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a veracidade das três afirmativas e escolher a alternativa correta entre (A)–(H). Vou listar claramente o que cada afirmativa diz e os dados que nos dão:
- I. O conjunto solução do sistema
, onde , é subespaço vetorial. - Dado:
.
- Dado:
- II. O complemento ortogonal de
, com linearmente dependentes (LD), não é subespaço vetorial. - Dado:
e são LD.
- Dado:
- III.
é subespaço vetorial. - Dado: conjunto descrito por uma equação afim.
O que se pede: decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa e então selecionar a alternativa correta.
Passo 2
Lembrete útil (definição prática de subespaço): um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se:
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Um teste rápido usado com frequência na prova: se o conjunto não contém
, já está eliminado como subespaço (porque a condição 1 falha). Outra observação: o complemento ortogonal de qualquer subconjunto de
costuma ser um subespaço (vamos mostrar por que).
Passo 3
Analisando I: solução do sistema
com
.
- Teoria relevante: se o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução), então a forma geral das soluções é
onde é uma solução particular ( ) e é o núcleo (nulidade) de , que é um subespaço vetorial. - Observação rápida e decisiva:
. Como , o vetor não satisfaz . Portanto . - Conclusão: qualquer conjunto de soluções de um sistema
com (quando consistente) é um deslocamento afim de e não contém ; se o sistema for inconsistente, o conjunto solução é o conjunto vazio, que também não é subespaço porque não contém . Logo a afirmativa I é falsa.
Exemplo concreto (para fixar a ideia): considere
(linha) e
. As soluções são
. O vetor nulo
não pertence, então esse conjunto não é subespaço.
Passo 4
Analisando II: o complemento ortogonal de
quando
são LD, a afirmativa diz que esse complemento não é subespaço.
- Definição e propriedade importante: para qualquer conjunto
define-se o complemento ortogonal - Verificação das propriedades de subespaço para
: -
porque para todo . - Se
então, para todo , logo . - Se
e , então , logo .
-
- Conclusão: para qualquer
, inclusive mesmo quando são LD, tem-se é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa II (que diz que não é subespaço) é falsa.
Comentário de intuição: se
são LD, então
é só uma reta ou o zero, e o conjunto de vetores ortogonais à essa reta é um plano (ou todo
etc.), sempre subespaço.
Passo 5
Analisando III: o conjunto
.
- Teste rápido do vetor nulo: o vetor nulo em
é . Substituindo na equação: o que é falso. Portanto . - Como o conjunto não contém o vetor nulo, falha a condição 1 da definição de subespaço, logo não é subespaço vetorial.
- Outra maneira de ver: a equação é afim (tem termo constante
), isto indica que é uma tradução de uma subvariedade linear; geometrically é um plano paralelo a um plano linear, deslocado, e planos deslocados que não passam pela origem não são subespaços.
Exemplo numérico para ver fechamento falhar: o vetor
satisfaz
. Porém o escalar
não pertence ao conjunto, então não há fechamento por multiplicação escalar.
Portanto a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Resumo das verificações:
- I é falsa (conjunto solução com
não contém e, em geral, é um conjunto afim). - II é falsa (o complemento ortogonal de qualquer span é sempre subespaço).
- III é falsa (o conjunto não contém o vetor nulo; é um plano afim deslocado).
Com isso, todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(A) Todas são falsas.