Q15: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
.
(B) existem
e
tais que
.
(C)
para todo
.
(D)
para todo
e existe
.
(E)
para todo
.
(A)
(B) existem
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos qual alternativa é verdadeira:
-
é uma matriz simétrica . - A forma quadrática associada é
. - O espectro de
é . (Isto significa que os valores próprios de são apenas , e , possivelmente com multiplicidades, totalizando valores próprios.)
As alternativas descrevem propriedades de sinal de. Precisamos decidir qual alternativa é compatível com os dados acima.
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicado devagar): toda matriz real simétrica pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal. Ou seja, existe uma matriz ortogonal
(isto é,
) cujas colunas são um sistema ortonormal de autovetores de
, e uma matriz diagonal
tal que
Aqui
é diagonal com as entradas na diagonal sendo os valores próprios de
. Isso é útil porque em coordenadas de autovetores a forma quadrática fica muito simples (é só uma soma de termos com os valores próprios).
Passo 3
Agora faça a mudança de base para as coordenadas em que
é diagonal. Para qualquer vetor
defina
. Como
é ortogonal, podemos escrever
. Então:
Usando
e
obtemos
Se escrevemos
e
com cada
sendo um dos valores próprios (
ou
), então em forma explícita
Passo 4
Agora, usando o fato dado sobre o espectro: cada
é igual a
,
ou
. Em particular cada
. Para qualquer real
, o termo
é então
(porque
e
). Somando esses termos,
para todo
. Ou seja,
para todo
.
Passo 5
Mostrando que existe
com
: como
está no espectro, existe pelo menos um autovetor
tal que
. Para esse vetor
Portanto existe vetor não nulo que anula a forma quadrática.
Passo 6
Verificando que também existem vetores com
: escolha um autovetor
associado ao valor próprio
(ou ao
). Então
e
Como
temos
, logo
. Isso mostra que a forma não é identicamente zero nem positiva; ela assume valores negativos e também tem zeros (na direção do autovalor zero).
Passo 7
Agora compare isso com as alternativas:
- (A) afirma
para todo e existe com . Isso é falso porque encontramos vetores com . - (B) afirma que existem
e com . Isso exigiria que assumisse valores positivos; mas já vimos que todos os , então para todo , logo não existem valores positivos. - (C) afirma
para todo . Isso é falso porque existe com (autovetores do valor próprio ). - (D) afirma
para todo e existe com . Isso coincide exatamente com o que provamos: todos os valores são e há vetores não nulos que dão . - (E) afirma
para todo . Isso é obviamente falso.
Portanto a única alternativa compatível é a que descreve
para todo
e existência de vetor não nulo com
.
Resposta
(D)