Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é simétrica e
é um autovalor de
, então
possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
II - Se
possui inversa, então
possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas e pede que escolhamos qual alternativa está correta:
I - Se é simétrica e
é um autovalor de
, então
possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
II - Se possui inversa, então
possui uma base de autovetores.
As opções são: (A) Todas são falsas. (B) Só I é verdadeira. (C) Só II é verdadeira. (D) Todas são verdadeiras.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são exatamente as duas afirmações acima (não há outras hipóteses explícitas).
I - Se
II - Se
As opções são: (A) Todas são falsas. (B) Só I é verdadeira. (C) Só II é verdadeira. (D) Todas são verdadeiras.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são exatamente as duas afirmações acima (não há outras hipóteses explícitas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem os conceitos que aparecem nas afirmativas, devagarinho e sem pressa.
Definição de autovalor e autovetor:
O conjunto de todos os vetores
que satisfazem
forma o espaço próprio (autoespaço) associado a
.
Definição de multiplicidades:
Uma propriedade geral (sempre verdadeira) é:
Ou seja, o número de vetores próprios linearmente independentes associados a
nunca excede a multiplicidade algébrica de
.
Passo 3
Agora vamos analisar a afirmativa I: “Se
é simétrica e
é um autovalor de
, então
possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.”
Vamos estudar uma propriedade-chave das matrizes simétricas (matrizes reais com
) que resolve isso.
Propriedade fundamental (demonstração curta e didática):
Suponha que é simétrica e que
e
são autovetores associados a autovalores distintos
e
, respectivamente:
Suponha que
Considere o produto escalar
. Usando
obtemos
.
Por outro lado, como ,
Por outro lado, como
Comparando as duas expressões temos
, ou seja
Se
então
: autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
Com isso, podemos construir uma base ortonormal de autovetores de
: tome um autovetor, expanda para complementar ortogonal, repita por indução — técnica padrão em álgebra linear para matrizes simétricas. O resultado clássico (Teorema espectral para matrizes simétricas reais) é:
Teorema (esquemático): Toda matriz simétrica real
é diagonalizável por uma matriz ortogonal; isto é, existe
ortogonal tal que
onde
é diagonal com os autovalores na diagonal. Da diagonalização segue que, para cada autovalor, a multiplicidade algébrica (número de vezes que aparece na diagonal de
) coincide com a dimensão do espaço próprio — isto é, a multiplicidade geométrica.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira: para matrizes simétricas reais cada autovalor tem multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica.
Passo 4
Agora vamos examinar a afirmativa II: “Se
possui inversa, então
possui uma base de autovetores.”
Aqui preciso te alertar: muita gente se confunde — inversibilidade e diagonalizabilidade são propriedades diferentes. Ser invertível só garante que
não é autovalor; não garante que existam suficientes autovetores para formar uma base.
A melhor forma de mostrar que II é falsa é dar um contraexemplo simples e trabalhar passo a passo.
Considere a matriz
- Verificamos que
é invertível calculando o determinante:
logo
possui inversa.
- Vamos achar os autovalores de
. O polinômio característico é
Assim o único autovalor é
, com multiplicidade algébrica igual a
.
- Agora a multiplicidade geométrica: resolvemos
. Calculando
Uma solução genérica
satisfaz
se e somente se
, ou seja
. Logo os vetores próprios são da forma
, que formam um espaço unidimensional. Portanto a multiplicidade geométrica do autovalor
é
, estritamente menor que a multiplicidade algébrica
.
- Conclusão do contraexemplo:
é invertível, mas não é diagonalizável (não há dois autovetores linearmente independentes), logo não existe uma base formada por autovetores. Assim a afirmativa II é falsa.]
Passo 5
Resumindo os resultados:
- I é verdadeira, por causa do teorema espectral para matrizes simétricas reais (autovetores ortogonais, diagonalização ortogonal, igualdade das multiplicidades).
- II é falsa: a invertibilidade não implica existência de base de autovetores; demos um contraexemplo explícito com
que é invertível mas não diagonalizável.
Portanto a resposta correta é a alternativa que diz que apenas I é verdadeira.]
Resposta
(B) Só I é verdadeira.