Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se N é simétrica e \lambda é um autovalor de N, então \lambda possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
II - Se M possui inversa, então M possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas e pede que escolhamos qual alternativa está correta:
I - Se N é simétrica e \lambda é um autovalor de N, então \lambda possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.
II - Se M possui inversa, então M possui uma base de autovetores.
As opções são: (A) Todas são falsas. (B) Só I é verdadeira. (C) Só II é verdadeira. (D) Todas são verdadeiras.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são exatamente as duas afirmações acima (não há outras hipóteses explícitas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem os conceitos que aparecem nas afirmativas, devagarinho e sem pressa.
Definição de autovalor e autovetor:
\text{Um número } \lambda \text{ é autovalor de } A \text{ se existe } v\neq 0 \text{ tal que } A v = \lambda v.úé
O conjunto de todos os vetores v que satisfazem A v=\lambda v forma o espaço próprio (autoespaço) associado a \lambda.
Definição de multiplicidades:
\text{Multiplicidade algébrica de } \lambda = \text{multiplicidade de } \lambda \text{ como raiz do polinômio característico } \det(A-\lambda I).éôí
\text{Multiplicidade geométrica de } \lambda = \dim(\ker(A-\lambda I)) = \dim(\text{autoespaço de }\lambda).éç
Uma propriedade geral (sempre verdadeira) é:
\text{multiplicidade geométrica } \le \text{ multiplicidade algébrica.}éé
Ou seja, o número de vetores próprios linearmente independentes associados a \lambda nunca excede a multiplicidade algébrica de \lambda.

Passo 3

Agora vamos analisar a afirmativa I: “Se N é simétrica e \lambda é um autovalor de N, então \lambda possui multiplicidade algébrica igual a sua multiplicidade geométrica.”
Vamos estudar uma propriedade-chave das matrizes simétricas (matrizes reais com N^T=N) que resolve isso.
Propriedade fundamental (demonstração curta e didática):
Suponha que N é simétrica e que u e v são autovetores associados a autovalores distintos \alpha e \beta, respectivamente:
N u = \alpha u,\qquad N v = \beta v.
Considere o produto escalar u^T (N v). Usando N v=\beta v obtemos u^T(Nv)=\beta u^T v.
Por outro lado, como N^T=N,
u^T (N v) = (N^T u)^T v = (N u)^T v = (\alpha u)^T v = \alpha\, u^T v.
Comparando as duas expressões temos \alpha\, u^T v = \beta\, u^T v, ou seja
(\alpha-\beta)\, u^T v = 0.
Se \alpha\neq\beta então u^T v = 0: autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
Com isso, podemos construir uma base ortonormal de autovetores de N: tome um autovetor, expanda para complementar ortogonal, repita por indução — técnica padrão em álgebra linear para matrizes simétricas. O resultado clássico (Teorema espectral para matrizes simétricas reais) é:
Teorema (esquemático): Toda matriz simétrica real N é diagonalizável por uma matriz ortogonal; isto é, existe Q ortogonal tal que
Q^T N Q = D,
onde D é diagonal com os autovalores na diagonal. Da diagonalização segue que, para cada autovalor, a multiplicidade algébrica (número de vezes que aparece na diagonal de D) coincide com a dimensão do espaço próprio — isto é, a multiplicidade geométrica.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira: para matrizes simétricas reais cada autovalor tem multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica.

Passo 4

Agora vamos examinar a afirmativa II: “Se M possui inversa, então M possui uma base de autovetores.”
Aqui preciso te alertar: muita gente se confunde — inversibilidade e diagonalizabilidade são propriedades diferentes. Ser invertível só garante que 0 não é autovalor; não garante que existam suficientes autovetores para formar uma base.
A melhor forma de mostrar que II é falsa é dar um contraexemplo simples e trabalhar passo a passo.
Considere a matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Verificamos que M é invertível calculando o determinante:
\det(M)=1\cdot 1 - 0\cdot 1 = 1 \neq 0,
logo M possui inversa.
  1. Vamos achar os autovalores de M. O polinômio característico é
\det(M-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2.
Assim o único autovalor é \lambda=1, com multiplicidade algébrica igual a 2.
  1. Agora a multiplicidade geométrica: resolvemos (M-I)x=0. Calculando
M-I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Uma solução genérica x=(x_1,x_2)^T satisfaz (M-I)x=0 se e somente se 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 = 0, ou seja x_2=0. Logo os vetores próprios são da forma x=(x_1,0)^T, que formam um espaço unidimensional. Portanto a multiplicidade geométrica do autovalor \lambda=1 é 1, estritamente menor que a multiplicidade algébrica 2.
  1. Conclusão do contraexemplo: M é invertível, mas não é diagonalizável (não há dois autovetores linearmente independentes), logo não existe uma base formada por autovetores. Assim a afirmativa II é falsa.]

Passo 5

Resumindo os resultados:
  • I é verdadeira, por causa do teorema espectral para matrizes simétricas reais (autovetores ortogonais, diagonalização ortogonal, igualdade das multiplicidades).
  • II é falsa: a invertibilidade não implica existência de base de autovetores; demos um contraexemplo explícito com
M=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é invertível mas não diagonalizável.
Portanto a resposta correta é a alternativa que diz que apenas I é verdadeira.]

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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