Q15: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática associada. Se o espectro de A é \{1,-8,3\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(B) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(C) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(D) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(E) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente escolha a alternativa correta:
  • A é uma matriz simétrica de ordem 5.
  • A forma quadrática associada é f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}.
  • O espectro (conjunto de valores próprios distintos) de A é \{1,-8,3\}.
    Informações relevantes extraídas: há autovalores positivos ( 1 e 3) e um autovalor negativo ( -8). Não é informado diretamente se algum desses tem multiplicidade maior que 1, mas como A é 5\times5, as multiplicidades algébricas somam 5. O que se pede é identificar qual das alternativas (A)–(E) corresponde ao comportamento de f.

Passo 2

Propriedade fundamental (explicação didática). Toda matriz real simétrica é ortogonalmente diagonalizável: existem uma matriz ortogonal P (i.e. P^{T}P=I) e uma matriz diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{T}.
Aqui D tem na diagonal os autovalores de A, repetidos conforme suas multiplicidades. Explicando cada símbolo:
  • A é a matriz dada.
  • P é a matriz cujas colunas são autovetores ortonormais de A.
  • D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_5) contém os autovalores \lambda_i.
Isso significa que, ao trocar de base para a base ortonormal de autovetores, A atua como uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal.

Passo 3

Mudança de variável que simplifica a forma quadrática. Se definimos y = P^{T}\vec{v} (transformação ortogonal, preserva normas e é biunívoca), então
f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}=\vec{v}^{T}PDP^{T}\vec{v}=(P^{T}\vec{v})^{T}D(P^{T}\vec{v})=y^{T}Dy.
Como D é diagonal com entradas \lambda_i, isso dá a expressão explícita
f(\vec{v})=y^{T}Dy=\sum_{i=1}^{5}\lambda_i\,y_i^2,
onde y_i são as coordenadas de \vec{y} na base de autovetores e \lambda_i são os autovalores (com multiplicidade).

Passo 4

Uso dos autovalores dados. Do enunciado sabemos que os autovalores distintos incluem 1, -8 e 3. Assim, na lista \lambda_1,\dots,\lambda_5 aparece pelo menos um valor positivo (pelo menos um 1 ou 3) e pelo menos um valor negativo (pelo menos um -8). Em particular:
  • Existe um autovetor \vec{u} associado ao autovalor -8. Para esse autovetor, tomando \vec{v}=\vec{u}, temos (usando que autovetor satisfaz A\vec{u}=-8\vec{u})
f(\vec{u})=\vec{u}^{T}A\vec{u}=\vec{u}^{T}(-8\vec{u})=-8\,\|\vec{u}\|^{2}<0.
  • Existe um autovetor \vec{w} associado a, por exemplo, o autovalor 3. Para esse autovetor,
f(\vec{w})=\vec{w}^{T}A\vec{w}=\vec{w}^{T}(3\vec{w})=3\,\|\vec{w}\|^{2}>0.
Esses cálculos usam a propriedade simples: se A\vec{x}=\lambda\vec{x} então \vec{x}^{T}A\vec{x}=\lambda\|\vec{x}\|^{2}.

Passo 5

Consequência sobre sinal e nulidade. Como há autovalores positivos e negativos, a soma \sum_{i}\lambda_i y_i^2 pode ser positiva ou negativa dependendo dos y_i: portanto f assume valores positivos e negativos (ou seja, é indefinida). Além disso, note que 0 não está na lista de autovalores fornecida; isso implica que nenhum \lambda_i é zero. Para uma matriz simétrica, isso significa que o núcleo de A é \{\vec{0}\}. Logo a única solução de f(\vec{v})=0 é \vec{v}=\vec{0}; não existe vetor não-nulo com f(\vec{v})=0.

Passo 6

Conclusão lógica sobre as alternativas. Das propriedades obtidas:
  • Não pode ser que f(\vec{v})<0 para todo \vec{v}\neq\vec{0} (há vetores com f>0).
  • Não pode ser que f(\vec{v})>0 para todo \vec{v}\neq\vec{0} (há vetores com f<0).
  • Não existe \vec{w}\neq\vec{0} com f(\vec{w})=0 (porque 0 não é autovalor).
    Portanto a descrição correta do comportamento de f é a que diz que existem vetores produzindo valores negativos e outros produzindo valores positivos.

Resposta

(E)

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