Q15: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
(B)
para todo
e existe
com
.
(C)
para todo
e existe
com
.
(D)
para todo
.
(E) existem
e
tais que
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) existem
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente escolha a alternativa correta:
-
é uma matriz simétrica de ordem . - A forma quadrática associada é
. - O espectro (conjunto de valores próprios distintos) de
é .
Informações relevantes extraídas: há autovalores positivos (e ) e um autovalor negativo ( ). Não é informado diretamente se algum desses tem multiplicidade maior que , mas como é , as multiplicidades algébricas somam . O que se pede é identificar qual das alternativas (A)–(E) corresponde ao comportamento de .
Passo 2
Propriedade fundamental (explicação didática). Toda matriz real simétrica é ortogonalmente diagonalizável: existem uma matriz ortogonal
(i.e.
) e uma matriz diagonal
tais que
Aqui
tem na diagonal os autovalores de
, repetidos conforme suas multiplicidades. Explicando cada símbolo:
-
é a matriz dada. -
é a matriz cujas colunas são autovetores ortonormais de . -
contém os autovalores .
Isso significa que, ao trocar de base para a base ortonormal de autovetores,
atua como uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Passo 3
Mudança de variável que simplifica a forma quadrática. Se definimos
(transformação ortogonal, preserva normas e é biunívoca), então
Como
é diagonal com entradas
, isso dá a expressão explícita
onde
são as coordenadas de
na base de autovetores e
são os autovalores (com multiplicidade).
Passo 4
Uso dos autovalores dados. Do enunciado sabemos que os autovalores distintos incluem
,
e
. Assim, na lista
aparece pelo menos um valor positivo (pelo menos um
ou
) e pelo menos um valor negativo (pelo menos um
). Em particular:
- Existe um autovetor
associado ao autovalor . Para esse autovetor, tomando , temos (usando que autovetor satisfaz )
- Existe um autovetor
associado a, por exemplo, o autovalor . Para esse autovetor,
Esses cálculos usam a propriedade simples: se
então
.
Passo 5
Consequência sobre sinal e nulidade. Como há autovalores positivos e negativos, a soma
pode ser positiva ou negativa dependendo dos
: portanto
assume valores positivos e negativos (ou seja, é indefinida). Além disso, note que
não está na lista de autovalores fornecida; isso implica que nenhum
é zero. Para uma matriz simétrica, isso significa que o núcleo de
é
. Logo a única solução de
é
; não existe vetor não-nulo com
.
Passo 6
Conclusão lógica sobre as alternativas. Das propriedades obtidas:
- Não pode ser que
para todo (há vetores com ). - Não pode ser que
para todo (há vetores com ). - Não existe
com (porque não é autovalor).
Portanto a descrição correta do comportamento deé a que diz que existem vetores produzindo valores negativos e outros produzindo valores positivos.
Resposta
(E)