Q17: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são -9 e 4 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{9} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right] M
(B) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{9} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right] M^{-1}
(C) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-9 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right] M
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-9 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right] M^{-1}
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}9 & 0 \\\\ 0 & -4\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}9 & 0 \\\\ 0 & -4\end{array}\right] M^{-1}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos qual expressão representa a inversa de A:
A é uma matriz 2\times2.
Os autovalores de A são -9 e 4, respectivamente associados a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Definiu-se M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] (ou seja, as colunas de M são \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}).
A pergunta: qual das alternativas (A) a (F) corresponde a A^{-1}?
Passo 2
Primeiro fato importante (explicado de maneira didática): se as colunas de M são autovetores de A correspondentes aos autovalores \lambda_{1} e \lambda_{2}, então ao multiplicar A por cada coluna obtemos
Escrevendo isso em forma matricial (juntando as duas colunas), temos a igualdade em blocos
A M = M D,
onde D é a matriz diagonal com os autovalores na mesma ordem das colunas de M. Ou seja, D=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0\\[4pt]0 & \lambda_{2}\end{array}\right].
Aqui cada símbolo significa:
A: matriz dada;
M: matriz cujas colunas são \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2};
D: matriz diagonal com \lambda_{1} e \lambda_{2} nas entradas diagonais.]
Passo 3
Agora mostramos por que é possível escrever A na forma fatorada. Da igualdade A M = M D, se M for invertível podemos multiplicar à direita por M^{-1} e obter
A = M D M^{-1}.
Então A está diagonalizável por M. Preciso justificar que M é invertível: como os autovalores -9 e 4 são distintos, os autovetores associados \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são linearmente independentes (veja a prova curta abaixo), logo as duas colunas formam uma base de \mathbb{R}^{2} e M tem determinante não nulo.
Prova curta da independência (didática): suponha que existam escalares \alpha,\beta tais que \alpha\vec{v}_{1}+\beta\vec{v}_{2}=0. Aplicando A nas duas mãos,
Subtraindo \lambda_{2} vezes a primeira igualdade da última, obtemos (\lambda_{1}-\lambda_{2})\alpha\vec{v}_{1}=0. Como \lambda_{1}\neq\lambda_{2} e \vec{v}_{1}\neq 0, conclui-se \alpha=0; então \beta=0. Logo são independentes.
Passo 4
Agora usamos uma propriedade básica de inversas de produto de matrizes (explico): se A = X Y Z e X,Y,Z são invertíveis, então
A^{-1} = Z^{-1} Y^{-1} X^{-1}.
No nosso caso temos A = M D M^{-1}. Aplicando a regra com X=M, Y=D, Z=M^{-1} e lembrando que (M^{-1})^{-1}=M, obtemos
A^{-1} = M D^{-1} M^{-1}.
Ou seja, para inverter A diagonalizada, invertemos a diagonal (facinho) e mantemos os mesmos matrizes M e M^{-1} na ordem correta.
Passo 5
Agora calculamos explicitamente D e D^{-1} usando os autovalores do enunciado. Como a coluna 1 de M é \vec{v}_{1} associada a -9 e a coluna 2 é \vec{v}_{2} associada a 4, temos
D=\begin{pmatrix}-9 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
A inversa de uma matriz diagonal é obtida invertendo cada entrada diagonal (desde que nenhuma seja zero). Logo
Compare com as alternativas dadas: essa igualdade corresponde exatamente à alternativa (B).]
Passo 7
Pequena verificação intuitiva para ficar tranquilo: se as colunas de M fossem a base canônica (M=I), então A=D e A^{-1}=D^{-1}. No nosso caso, M apenas muda de base, por isso aparece M e M^{-1} cercando D^{-1}. Isso confirma a forma encontrada e que a ordem dos fatores importa bastante.