Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
II - A matriz C^{T} C possui uma base de autovetores.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas e pede que verifiquemos se cada uma é verdadeira ou falsa:
I - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
II - A matriz C^{T} C possui uma base de autovetores.
As informações relevantes que temos explicitamente: as duas frases acima (nenhuma outra hipótese extra foi fornecida). A tarefa é dizer, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa (e justificar).

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas com calma).
  • Definição de autovalor e autovetor: para uma matriz A e vetor não nulo \vec{v}, dizer que \vec{v} é autovetor com autovalor \lambda significa
A\vec{v}=\lambda\vec{v},
onde \lambda é um número (escalar).
  • Produto interno usual em \mathbb{R}^n: para vetores \vec{x},\vec{y} definimos
\langle \vec{x},\vec{y}\rangle = \vec{x}^{T}\vec{y}.
É um número real.
  • Matriz simétrica: A é simétrica quando
A^{T}=A.
  • Propriedade útil do produto interno: para matrizes/vetores compatíveis vale
\langle A\vec{x},\vec{y}\rangle = \vec{x}^{T}A^{T}\vec{y} = \langle \vec{x},A^{T}\vec{y}\rangle.
Essa identidade é a base da prova de ortogonalidade quando A é simétrica.

Passo 3

Prova do fato clássico (com todas as contas): “autovetores de uma matriz simétrica associados a autovalores distintos são ortogonais”.
Suponha que A é simétrica e que \vec{v} e \vec{u} são autovetores de A com autovalores \lambda e \mu, respectivamente. Então
A\vec{v}=\lambda\vec{v},\qquad A\vec{u}=\mu\vec{u}.
Calculemos \lambda\langle\vec{v},\vec{u}\rangle e \mu\langle\vec{v},\vec{u}\rangle:
\lambda\langle\vec{v},\vec{u}\rangle=\langle \lambda\vec{v},\vec{u}\rangle=\langle A\vec{v},\vec{u}\rangle.
Usando a propriedade do produto interno e A^{T}=A,
\langle A\vec{v},\vec{u}\rangle=\langle \vec{v},A^{T}\vec{u}\rangle=\langle \vec{v},A\vec{u}\rangle=\langle \vec{v},\mu\vec{u}\rangle=\mu\langle\vec{v},\vec{u}\rangle.
Juntando as igualdades obtemos
\lambda\langle\vec{v},\vec{u}\rangle=\mu\langle\vec{v},\vec{u}\rangle \quad\Longrightarrow\quad (\lambda-\mu)\langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0.
Portanto, se \lambda\neq\mu então \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0. Ou seja, autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.

Passo 4

Interpretação precisa da afirmativa I e contraexemplo.
A afirmativa I diz que quaisquer dois autovetores de uma matriz simétrica são ortogonais. A prova do passo anterior mostra ortogonalidade apenas quando os autovalores são distintos. Se os autovalores coincidirem (multiplicidade maior que 1), autovetores dentro do mesmo espaço próprio não precisam ser ortogonais automaticamente. Para ver que I é falsa, basta um contraexemplo simples: escolha a matriz identidade I_{2} (que é simétrica). Para I_{2} temos
I_{2}\vec{v}=1\cdot\vec{v}
para todo vetor \vec{v}\neq\vec{0}; isto é, todos os vetores são autovetores com o mesmo autovalor \lambda=1. Tome, por exemplo,
\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \vec{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Ambos são autovetores de I_{2}, mas o produto interno é
\langle\vec{v},\vec{u}\rangle=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}=1\neq 0.
Logo a afirmativa I é falsa.

Passo 5

Observação construtiva (como consertar I): mesmo que autovetores arbitrários no mesmo espaço próprio não sejam necessariamente ortogonais, existe sempre uma base ortonormal de autovetores para qualquer matriz simétrica real. Isso é consequência do Teorema espectral: toda matriz simétrica real é diagonalizável por uma matriz ortogonal, isto é, existem autovetores ortonormais que formam uma base de \mathbb{R}^{n}. Na prática, quando há multiplicidade maior que 1 dentro de um espaço próprio aplicamos o processo de Gram–Schmidt para obter autovetores ortogonais dentro daquele espaço próprio.

Passo 6

Análise da afirmativa II: por que C^{T}C possui base de autovetores.
Primeiro, mostro que C^{T}C é simétrica:
(C^{T}C)^{T}=C^{T}(C^{T})^{T}=C^{T}C,
onde usei a regra (AB)^{T}=B^{T}A^{T} e (C^{T})^{T}=C. Sendo simétrica e real, C^{T}C satisfaz as hipóteses do Teorema espectral, então existe uma base de \mathbb{R}^{n} formada por autovetores de C^{T}C; além disso, pode-se escolher essa base ortonormal. Adicionalmente, note-se que C^{T}C é semidefinida positiva porque, para todo \vec{x},
\vec{x}^{T}(C^{T}C)\vec{x}=(C\vec{x})^{T}(C\vec{x})=\|C\vec{x}\|^{2}\ge 0,
mas o ponto essencial para II é apenas a simetria que garante existência de base de autovetores. Portanto a afirmativa II é verdadeira.

Passo 7

Resumo lógico final (o que usar numa prova):
  • Para refutar uma afirmação universal do tipo “todos os autovetores são ortogonais” procure um contraexemplo com autovalor de multiplicidade > 1 (a identidade é o contraexemplo clássico).
  • Para afirmar que “uma certa matriz tem base de autovetores” verifique se a matriz é real e simétrica; se sim, invoca-se o Teorema espectral. Isso é rápido e seguro na prova.

Resposta

I: Falsa
II: Verdadeira

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