Q15: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática associada. Se o espectro de A é \{4,2,8\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(B) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(C) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).
(D) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(E) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado dá: a matriz A é simétrica de dimensão 5\times5 e a forma quadrática associada é f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}. O espectro de A é \{4,2,8\}. A pergunta é: qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira sobre os sinais de f(\vec{v})?
Informações relevantes listadas:
  • A é simétrica 5\times5.
  • O espectro (conjunto de valores próprios, possivelmente com multiplicidade) é \{4,2,8\}. Ou seja, todos os valores próprios são 4, 2 ou 8.
  • Queremos determinar o sinal de f(\vec{v}) para vetores \vec{v} (se é sempre positivo, sempre negativo, indefinido, se existe vetor não-nulo com f(\vec{v})=0, etc.) e assim escolher a alternativa correta.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar (explicada de forma simples): uma matriz simétrica real pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal. Isso significa que existe uma matriz ortogonal P (isto é, P^{T}P=I) tal que
P^{T} A P = D,
onde D é uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são exatamente os valores próprios de A (contando multiplicidade). Aqui cada entrada diagonal D_{ii}=\lambda_i é um dos elementos do espectro. Explicando as palavras: “ortogonal” significa que as colunas de P formam uma base ortonormal de autovetores; “diagonalizar” significa escrever A como mudança de base para uma matriz diagonal.

Passo 3

Interpretação do espectro dado: o enunciado diz que o espectro é \{4,2,8\}. Como A é 5\times5, isso quer dizer que todos os cinco valores próprios (contando multiplicidade) estão entre os números 4, 2 e 8. Em particular, TODOS os valores próprios são positivos, porque 4>0, 2>0 e 8>0. Mesmo que algum valor próprio se repita (multiplicidade), continua sendo positivo.

Passo 4

Transformação da forma quadrática usando a diagonalização. Seja P ortogonal que diagonaliza A, e seja
\vec{y}=P^{T}\vec{v}.
Então, usando P^{T}AP=D,
f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}=\vec{v}^{T}P D P^{T}\vec{v}=(P^{T}\vec{v})^{T} D (P^{T}\vec{v})=\vec{y}^{T}D\vec{y}.
Como D é diagonal com entradas \lambda_1,\dots,\lambda_5 (cada \lambda_i\in\{4,2,8\}), temos a expressão explícita
f(\vec{v})=\lambda_1 y_1^{2}+\lambda_2 y_2^{2}+\lambda_3 y_3^{2}+\lambda_4 y_4^{2}+\lambda_5 y_5^{2}.
Aqui eu explico cada símbolo: \lambda_i é o i-ésimo valor próprio (um número real), y_i é a i-ésima coordenada do vetor \vec{y}=P^{T}\vec{v}. Note que y_i^{2}\ge 0 sempre.

Passo 5

Conclusão sobre o sinal de f(\vec{v}). Como todos os \lambda_i são positivos (cada um é 2, 4 ou 8), cada termo \lambda_i y_i^{2} é não-negativo e é estritamente positivo sempre que y_i\neq 0. Se \vec{v}\neq\overrightarrow{0}, então \vec{y}=P^{T}\vec{v}\neq\overrightarrow{0} (porque P^{T} é invertível), portanto existe pelo menos um índice i com y_i\neq 0 e assim pelo menos um termo \lambda_i y_i^{2}>0. Logo a soma
f(\vec{v})=\sum_{i=1}^{5}\lambda_i y_i^{2}
é estritamente positiva para todo \vec{v}\neq\overrightarrow{0}. Em outras palavras, f é positiva definida.

Passo 6

Por que isso elimina as outras alternativas (explicando de forma direta):
  • (A) pede f(\vec{v})\le 0 para todo \vec{v} e existência de \vec{w}\neq\overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0. Para isso seria preciso que todos os valores próprios fossem \le 0 e pelo menos um fosse 0. Não é o caso (todos são positivos).
  • (B) pede f(\vec{v})\ge 0 para todo \vec{v} e existência de \vec{w}\neq\overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0. Isso exigiria pelo menos um valor próprio igual a 0. Não há valor próprio zero no espectro dado.
  • (C) diz que existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}). Isso exigiria valores próprios positivos e negativos (forma indefinida). Não ocorre aqui, pois todos os valores próprios são positivos.
  • (D) pede f(\vec{v})<0 para todo \vec{v}\neq\overrightarrow{0} (definitude negativa). Isso exigiria todos os valores próprios negativos. Não é o caso.
    Portanto, apenas a alternativa que afirma positividade estrita para vetores não-nulos pode ser verdadeira.

Passo 7

Exemplo ilustrativo rápido para fixar a ideia (apenas para visualização): considere uma diagonal hipotética compatível com o espectro, por exemplo
D=\operatorname{diag}(4,4,2,8,2).
Para esse D teríamos, como acima,
f(\vec{v})=4y_1^{2}+4y_2^{2}+2y_3^{2}+8y_4^{2}+2y_5^{2},
e claramente, se \vec{y}\neq\overrightarrow{0}, a soma é >0. Isso espelha exatamente a razão pela qual qualquer matriz simétrica com esses valores próprios dá uma forma quadrática positiva definida.

Passo 8

Resumo curto e dica de prova/exame: basta olhar os sinais dos valores próprios. Se todos são positivos, a forma quadrática é positiva definida e f(\vec{v})>0 para todo \vec{v}\neq\overrightarrow{0}. Isso resolve rápido na prova — anote isso ao lado do enunciado e marque a alternativa correspondente.

Resposta

(E) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v}\neq\overrightarrow{0}.

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