Q15: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
com
.
(B)
para todo
e existe
com
.
(C) existem
e
tais que
.
(D)
para todo
.
(E)
para todo
.
(A)
(B)
(C) existem
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá: a matriz
é simétrica de dimensão
e a forma quadrática associada é
. O espectro de
é
. A pergunta é: qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira sobre os sinais de
?
Informações relevantes listadas:
-
é simétrica . - O espectro (conjunto de valores próprios, possivelmente com multiplicidade) é
. Ou seja, todos os valores próprios são , ou . - Queremos determinar o sinal de
para vetores (se é sempre positivo, sempre negativo, indefinido, se existe vetor não-nulo com , etc.) e assim escolher a alternativa correta.
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar (explicada de forma simples): uma matriz simétrica real pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal. Isso significa que existe uma matriz ortogonal
(isto é,
) tal que
onde
é uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são exatamente os valores próprios de
(contando multiplicidade). Aqui cada entrada diagonal
é um dos elementos do espectro. Explicando as palavras: “ortogonal” significa que as colunas de
formam uma base ortonormal de autovetores; “diagonalizar” significa escrever
como mudança de base para uma matriz diagonal.
Passo 3
Interpretação do espectro dado: o enunciado diz que o espectro é
. Como
é
, isso quer dizer que todos os cinco valores próprios (contando multiplicidade) estão entre os números
,
e
. Em particular, TODOS os valores próprios são positivos, porque
,
e
. Mesmo que algum valor próprio se repita (multiplicidade), continua sendo positivo.
Passo 4
Transformação da forma quadrática usando a diagonalização. Seja
ortogonal que diagonaliza
, e seja
Então, usando
,
Como
é diagonal com entradas
(cada
), temos a expressão explícita
Aqui eu explico cada símbolo:
é o
-ésimo valor próprio (um número real),
é a
-ésima coordenada do vetor
. Note que
sempre.
Passo 5
Conclusão sobre o sinal de
. Como todos os
são positivos (cada um é
,
ou
), cada termo
é não-negativo e é estritamente positivo sempre que
. Se
, então
(porque
é invertível), portanto existe pelo menos um índice
com
e assim pelo menos um termo
. Logo a soma
é estritamente positiva para todo
. Em outras palavras,
é positiva definida.
Passo 6
Por que isso elimina as outras alternativas (explicando de forma direta):
- (A) pede
para todo e existência de com . Para isso seria preciso que todos os valores próprios fossem e pelo menos um fosse . Não é o caso (todos são positivos). - (B) pede
para todo e existência de com . Isso exigiria pelo menos um valor próprio igual a . Não há valor próprio zero no espectro dado. - (C) diz que existem
e tais que . Isso exigiria valores próprios positivos e negativos (forma indefinida). Não ocorre aqui, pois todos os valores próprios são positivos. - (D) pede
para todo (definitude negativa). Isso exigiria todos os valores próprios negativos. Não é o caso.
Portanto, apenas a alternativa que afirma positividade estrita para vetores não-nulos pode ser verdadeira.
Passo 7
Exemplo ilustrativo rápido para fixar a ideia (apenas para visualização): considere uma diagonal hipotética compatível com o espectro, por exemplo
Para esse
teríamos, como acima,
e claramente, se
, a soma é
. Isso espelha exatamente a razão pela qual qualquer matriz simétrica com esses valores próprios dá uma forma quadrática positiva definida.
Passo 8
Resumo curto e dica de prova/exame: basta olhar os sinais dos valores próprios. Se todos são positivos, a forma quadrática é positiva definida e
para todo
. Isso resolve rápido na prova — anote isso ao lado do enunciado e marque a alternativa correspondente.
Resposta
(E)
para todo
.