Q17: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são 6 e -3 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-6 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] M
(B) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-6 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] M^{-1}
(C) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}6 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right] M
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}6 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right] M^{-1}
(E) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{6} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{3}\end{array}\right] M^{-1}
(F) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{6} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{3}\end{array}\right] M

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma expressão para A^{-1}:
  • A é uma matriz 2\times2.
  • Os autovalores de A são 6 e -3.
  • O autovalor 6 está associado ao vetor próprio \vec{v}_{1}.
  • O autovalor -3 está associado ao vetor próprio \vec{v}_{2}.
  • Definimos M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right], ou seja, M tem como colunas os vetores próprios \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
O que o enunciado pergunta: qual das alternativas (A) a (F) fornece a expressão correta para A^{-1}.

Passo 2

Entenda a relação entre A, M e a matriz diagonal dos autovalores. Se colocamos os autovalores em uma matriz diagonal
D=\begin{pmatrix}6 & 0 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix},
então a definição de M (colunas sendo autovetores) implica a igualdade matricial
A M = M D.
Explicando por que isso é verdade: multiplicar A por M aplica A a cada coluna de M; como as colunas são \vec{v}_1 e \vec{v}_2 e A\vec{v}_1=6\vec{v}_1,\;A\vec{v}_2=-3\vec{v}_2, cada coluna é escalada pelo correspondente autovalor, o que é exatamente a multiplicação por D.]

Passo 3

Mostre que M é invertível. Como os autovalores 6 e -3 são distintos, os autovetores \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são linearmente independentes. Duas colunas linearmente independentes formam uma base de \mathbb{R}^2, logo M é invertível. Isso permite manipular a equação da Passo 2 dividindo à direita por M.

Passo 4

A partir de A M = M D e multiplicando à direita por M^{-1}, obtemos
A = M D M^{-1}.
Isto é a diagonalização de A: A é similar à matriz diagonal D.

Passo 5

Agora invertendo a expressão A = M D M^{-1}. Use a regra geral para inversos de produto: (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}. Aplicando a (M D M^{-1})^{-1} obtemos
A^{-1} = (M D M^{-1})^{-1} = (M^{-1})^{-1} D^{-1} M^{-1} = M D^{-1} M^{-1}.
Note que a ordem se inverte e os inversos individuais aparecem; porém (M^{-1})^{-1}=M.

Passo 6

Calcule D^{-1}. Para uma matriz diagonal, o inverso é a diagonal formada pelos inversos dos elementos da diagonal (desde que nenhum elemento diagonal seja zero). Assim
D^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6} & 0 \\[6pt] 0 & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Portanto, combinando com o Passo 5,
A^{-1}=M\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6} & 0 \\[6pt] 0 & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}M^{-1}.
Um lembrete prático: inverter uma matriz diagonal é só inverter cada entrada da diagonal; por exemplo, \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&b\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1/a&0\\\ 0&1/b\end{pmatrix}, desde que a\neq0 e b\neq0.]

Passo 7

Compare a expressão obtida no Passo 6 com as alternativas dadas. A alternativa que coincide com
A^{-1}=M\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6} & 0 \\[6pt] 0 & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}M^{-1}
é a alternativa (E).]

Resposta

(E) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}\dfrac{1}{6} & 0 \\[4pt] 0 & -\dfrac{1}{3}\end{array}\right] M^{-1}]

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