Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
e
são autovetores de uma matriz simétrica, então
.
II - Se
e
, então
possui 11 autovalores reais distintos.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas sobre matrizes simétricas e pede que escolhamos qual opção (A–D) é correta. As afirmativas são:
I - Se
e
são autovetores de uma matriz simétrica, então
.
II - Se
e
, então
possui 11 autovalores reais distintos.
Informações relevantes do enunciado que usaremos: a hipótese de simetria
, a definição usual de autovalor/autovetor (isto é,
para autovalor
e autovetor
), e o produto interno usual
em
.
Passo 2
Vamos lembrar com calma o que significa cada termo (aqui é uma mini-aula):
- Autovetor e autovalor: dizer que
é autovetor de uma matriz com autovalor significa que
com
. A ideia: aplicar
apenas estica/encolhe/reveste
, sem mudar sua direção.
- Matriz simétrica:
é simétrica quando . Isso significa que sua entrada satisfaz . - Produto interno:
é o produto escalar usual; se for zero dizemos que e são ortogonais.
Observação importante (fato conhecido que vamos usar com explicação depois): matrizes simétricas têm autovalores reais e é possível escolher uma base de autovetores ortogonais (teorema espectral). Mas atenção: isso não implica que quaisquer dois autovetores quaisquer sejam automaticamente ortogonais — veja a diferença entre “existem autovetores ortogonais formando base” e “todo par de autovetores é ortogonal”.
Passo 3
Análise da afirmativa I. Ela afirma que "se
e
são autovetores de uma matriz simétrica, então
".
Vamos esclarecer: é verdade que se e
são autovetores correspondentes a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então eles são ortogonais. Demonstração curta desse caso (é um ingrediente padrão e útil na prova): suponha
,
e
com
. Então
Vamos esclarecer: é verdade que se
Como
segue
. Isso mostra o caso “autovalores distintos” — portanto I seria verdadeira se ela tivesse dito “quando os autovalores são distintos”. Mas a afirmativa I não acrescenta essa condição; ela afirma a ortogonalidade para quaisquer dois autovetores quaisquer da matriz simétrica. Isso é mais forte e precisa ser testado.
Passo 4
Contraexemplo para I (ou seja, mostro que I é falsa). Considere a matriz identidade em
,
que satisfaz
, portanto é simétrica. Para
todo vetor
é autovetor com autovalor
, pois
. Escolho por exemplo
Ambos são autovetores de
com o mesmo autovalor
. Agora calculo o produto interno:
Portanto aqui temos dois autovetores de uma matriz simétrica cujo produto interno não é zero. Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Comentário didático: o que a identidade mostra é que dentro de um mesmo subespaço próprio (autovalor repetido) os autovetores não precisam ser ortogonais; porém podemos sempre aplicar o processo de ortogonalização dentro desse subespaço (Gram–Schmidt) para escolher uma base ortonormal de autovetores. Por isso costuma-se dizer que autovetores de matrizes simétricas referentes a autovalores distintos são ortogonais, e que existe uma base ortonormal de autovetores — mas isso não força ortogonalidade entre quaisquer dois autovetores arbitrários quando os autovalores podem coincidir.]
Passo 5
Análise da afirmativa II. Ela afirma que se
e
, então
possui 11 autovalores reais distintos. Vamos dividir em duas partes: (a) realidade dos autovalores; (b) existência de 11 autovalores distintos.
(a) É verdade que matrizes simétricas têm todos os autovalores reais. Isso pode ser mostrado por argumentos com produtos internos ou usando o teorema espectral: autovalores de matrizes simétricas são reais. Então a parte “reais” está correta.
(b) Porém a palavra “distintos” exige que todos os 11 autovalores sejam diferentes entre si — isto é, multiplicidade algébrica 1 para cada autovalor. Isso nem sempre ocorre: autovalores podem repetir (ter multiplicidade maior que 1). Um contraexemplo simples mostra que a afirmativa inteira II é falsa.
Passo 6
Contraexemplo para II. Tome
, a matriz identidade de ordem 11. Ela é simétrica (pois
). Os autovalores de
são todos iguais a
, com multiplicidade algébrica
. Assim
tem 11 autovalores reais, mas não são distintos — na verdade há apenas um autovalor distinto,
. Logo a afirmativa de que
possui 11 autovalores reais distintos é falsa. Conclusão: II é falsa.
Passo 7
Resumo e reforço didático (rápido e motivador):
- I é falsa porque a ortogonalidade entre autovetores de matrizes simétricas só é garantida quando os autovetores correspondem a autovalores distintos; dentro de um mesmo espaço próprio (mesmo autovalor) os autovetores podem ter produto interno não nulo — como vimos com
. - II é falsa porque, embora autovalores de matrizes simétricas sejam sempre reais, eles podem se repetir; não é garantido que todos sejam distintos — o caso
mostra isso.
Você conseguiu! As duas afirmativas são falsas — escolha a alternativa correspondente.
Resposta
(A) Todas são falsas.