Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
II - Se B: \mathbb{R}^{11} \rightarrow \mathbb{R}^{11} e B=B^{T}, então B possui 11 autovalores reais distintos.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas sobre matrizes simétricas e pede que escolhamos qual opção (A–D) é correta. As afirmativas são:
I - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
II - Se B:\mathbb{R}^{11}\to\mathbb{R}^{11} e B=B^{T}, então B possui 11 autovalores reais distintos.
Informações relevantes do enunciado que usaremos: a hipótese de simetria B=B^{T}, a definição usual de autovalor/autovetor (isto é, A\vec{x}=\lambda\vec{x} para autovalor \lambda e autovetor \vec{x}\neq\vec{0}), e o produto interno usual \langle\cdot,\cdot\rangle em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Vamos lembrar com calma o que significa cada termo (aqui é uma mini-aula):
  • Autovetor e autovalor: dizer que \vec{v} é autovetor de uma matriz A com autovalor \lambda significa que
A\vec{v}=\lambda\vec{v},
com \vec{v}\neq\vec{0}. A ideia: aplicar A apenas estica/encolhe/reveste \vec{v}, sem mudar sua direção.
  • Matriz simétrica: A é simétrica quando A=A^{T}. Isso significa que sua entrada a_{ij} satisfaz a_{ij}=a_{ji}.
  • Produto interno: \langle\vec{x},\vec{y}\rangle é o produto escalar usual; se for zero dizemos que \vec{x} e \vec{y} são ortogonais.
Observação importante (fato conhecido que vamos usar com explicação depois): matrizes simétricas têm autovalores reais e é possível escolher uma base de autovetores ortogonais (teorema espectral). Mas atenção: isso não implica que quaisquer dois autovetores quaisquer sejam automaticamente ortogonais — veja a diferença entre “existem autovetores ortogonais formando base” e “todo par de autovetores é ortogonal”.

Passo 3

Análise da afirmativa I. Ela afirma que "se \vec{v} e \vec{u} são autovetores de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0".
Vamos esclarecer: é verdade que se \vec{v} e \vec{u} são autovetores correspondentes a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então eles são ortogonais. Demonstração curta desse caso (é um ingrediente padrão e útil na prova): suponha A=A^{T}, A\vec{v}=\lambda\vec{v} e A\vec{u}=\mu\vec{u} com \lambda\neq\mu. Então
\lambda\langle\vec{v},\vec{u}\rangle=\langle \lambda\vec{v},\vec{u}\rangle=\langle A\vec{v},\vec{u}\rangle=\langle \vec{v},A^{T}\vec{u}\rangle=\langle \vec{v},A\vec{u}\rangle=\langle \vec{v},\mu\vec{u}\rangle=\mu\langle\vec{v},\vec{u}\rangle.
Como \lambda\neq\mu segue \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=0. Isso mostra o caso “autovalores distintos” — portanto I seria verdadeira se ela tivesse dito “quando os autovalores são distintos”. Mas a afirmativa I não acrescenta essa condição; ela afirma a ortogonalidade para quaisquer dois autovetores quaisquer da matriz simétrica. Isso é mais forte e precisa ser testado.

Passo 4

Contraexemplo para I (ou seja, mostro que I é falsa). Considere a matriz identidade em \mathbb{R}^2,
A=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
que satisfaz A=A^{T}, portanto é simétrica. Para A todo vetor \vec{x}\neq\vec{0} é autovetor com autovalor 1, pois A\vec{x}=1\cdot\vec{x}. Escolho por exemplo
\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \vec{u}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Ambos são autovetores de A com o mesmo autovalor \lambda=1. Agora calculo o produto interno:
\langle\vec{v},\vec{u}\rangle = 1\cdot 1 + 0\cdot 1 = 1 \neq 0.
Portanto aqui temos dois autovetores de uma matriz simétrica cujo produto interno não é zero. Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Comentário didático: o que a identidade mostra é que dentro de um mesmo subespaço próprio (autovalor repetido) os autovetores não precisam ser ortogonais; porém podemos sempre aplicar o processo de ortogonalização dentro desse subespaço (Gram–Schmidt) para escolher uma base ortonormal de autovetores. Por isso costuma-se dizer que autovetores de matrizes simétricas referentes a autovalores distintos são ortogonais, e que existe uma base ortonormal de autovetores — mas isso não força ortogonalidade entre quaisquer dois autovetores arbitrários quando os autovalores podem coincidir.]

Passo 5

Análise da afirmativa II. Ela afirma que se B:\mathbb{R}^{11}\to\mathbb{R}^{11} e B=B^{T}, então B possui 11 autovalores reais distintos. Vamos dividir em duas partes: (a) realidade dos autovalores; (b) existência de 11 autovalores distintos.
(a) É verdade que matrizes simétricas têm todos os autovalores reais. Isso pode ser mostrado por argumentos com produtos internos ou usando o teorema espectral: autovalores de matrizes simétricas são reais. Então a parte “reais” está correta.
(b) Porém a palavra “distintos” exige que todos os 11 autovalores sejam diferentes entre si — isto é, multiplicidade algébrica 1 para cada autovalor. Isso nem sempre ocorre: autovalores podem repetir (ter multiplicidade maior que 1). Um contraexemplo simples mostra que a afirmativa inteira II é falsa.

Passo 6

Contraexemplo para II. Tome B=I_{11}, a matriz identidade de ordem 11. Ela é simétrica (pois I_{11}=I_{11}^{T}). Os autovalores de I_{11} são todos iguais a 1, com multiplicidade algébrica 11. Assim B tem 11 autovalores reais, mas não são distintos — na verdade há apenas um autovalor distinto, \lambda=1. Logo a afirmativa de que B possui 11 autovalores reais distintos é falsa. Conclusão: II é falsa.

Passo 7

Resumo e reforço didático (rápido e motivador):
  • I é falsa porque a ortogonalidade entre autovetores de matrizes simétricas só é garantida quando os autovetores correspondem a autovalores distintos; dentro de um mesmo espaço próprio (mesmo autovalor) os autovetores podem ter produto interno não nulo — como vimos com I_2.
  • II é falsa porque, embora autovalores de matrizes simétricas sejam sempre reais, eles podem se repetir; não é garantido que todos sejam distintos — o caso I_{11} mostra isso.
    Você conseguiu! As duas afirmativas são falsas — escolha a alternativa correspondente.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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