Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(6 x+8 y-4 z, \frac{y}{6}-3 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 9 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
(C) é maior do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
Passo 1
O enunciado dá:
A transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
Um paralelepípedo Q\subset\mathbb{R}^3 cujo volume é \;9.
A pergunta é: qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) descreve o volume de T(Q) em relação ao volume de Q.
Passo 2
Primeiro transformamos T em matriz na base canônica. A saída de T mostra os coeficientes de x,y,z para cada coordenada:
primeira coordenada: 6x+8y-4z → coeficientes (6,8,-4),
segunda coordenada: 0x+\frac{1}{6}y-3z → coeficientes (0,\frac{1}{6},-3),
Agora uma breve aula utilitária (muito prática): para qualquer transformação linear representada por uma matriz A em \mathbb{R}^3, o efeito de A sobre volumes é multiplicativo pelo valor absoluto do determinante de A. Mais formalmente, se Q é um paralelepípedo gerado por vetores colunas formando a matriz M, então o volume de Q é |\det(M)|. A imagem T(Q) é gerada por AM, e
Intuição rápida e exemplo simples: em \mathbb{R}^2 a matriz \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} estica na direção x por 2, então áreas são multiplicadas por 2 — e o determinante é 2. Por isso, para responder a questão basta calcular |\det(A)| e multiplicar por \operatorname{Vol}(Q)=9.
Passo 4
Calculemos \det(A). A matriz A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto,
\det(A)=6\cdot \frac{1}{6}\cdot 1.
Façamos a conta passo a passo: 6\cdot \frac{1}{6}=1, e 1\cdot 1=1. Logo