Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(6 x+8 y-4 z, \frac{y}{6}-3 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 9 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
(C) é maior do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=\left(6x+8y-4z,\;\frac{y}{6}-3z,\;z\right).
  • Um paralelepípedo Q\subset\mathbb{R}^3 cujo volume é \;9.
    A pergunta é: qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) descreve o volume de T(Q) em relação ao volume de Q.

Passo 2

Primeiro transformamos T em matriz na base canônica. A saída de T mostra os coeficientes de x,y,z para cada coordenada:
  • primeira coordenada: 6x+8y-4z → coeficientes (6,8,-4),
  • segunda coordenada: 0x+\frac{1}{6}y-3z → coeficientes (0,\frac{1}{6},-3),
  • terceira coordenada: 0x+0y+1z → coeficientes (0,0,1).
Assim a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 6 & 8 & -4\\[4pt] 0 & \dfrac{1}{6} & -3\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora uma breve aula utilitária (muito prática): para qualquer transformação linear representada por uma matriz A em \mathbb{R}^3, o efeito de A sobre volumes é multiplicativo pelo valor absoluto do determinante de A. Mais formalmente, se Q é um paralelepípedo gerado por vetores colunas formando a matriz M, então o volume de Q é |\det(M)|. A imagem T(Q) é gerada por AM, e
\det(AM)=\det(A)\det(M),
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\operatorname{Vol}(T(Q))=|\det(A)|\cdot\operatorname{Vol}(Q).
Intuição rápida e exemplo simples: em \mathbb{R}^2 a matriz \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} estica na direção x por 2, então áreas são multiplicadas por 2 — e o determinante é 2. Por isso, para responder a questão basta calcular |\det(A)| e multiplicar por \operatorname{Vol}(Q)=9.

Passo 4

Calculemos \det(A). A matriz A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto,
\det(A)=6\cdot \frac{1}{6}\cdot 1.
Façamos a conta passo a passo: 6\cdot \frac{1}{6}=1, e 1\cdot 1=1. Logo
\det(A)=1.
O fator de escala absoluto é |\det(A)|=|1|=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula de escala de volumes:
\operatorname{Vol}(T(Q))=|\det(A)|\cdot \operatorname{Vol}(Q)=1\cdot 9=\;9.
Ou seja, o volume é preservado pela transformação T: o paralelepípedo transformado tem exatamente o mesmo volume que Q.

Resposta

(D)

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