Q15: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática associada. Se o espectro de A é \{-3,-2,-5\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(B) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).
(C) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} \operatorname{com} f(\vec{w})=0.
(D) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(E) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica 5\times5, chamada A, e define a forma quadrática associada
f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}.
Diz também que o espectro (conjunto de valores próprios) de A é \{-3,-2,-5\}. A pergunta implícita é: qual das alternativas (A)–(E) descreve corretamente o sinal de f(\vec{v}) para vetores \vec{v} (se é sempre \ge0, existe nulo não-trivial, muda de sinal, etc.)?
Informações relevantes listadas:
  • A é simétrica 5\times5.
  • Os valores próprios (os elementos do espectro) citados são -3, -2 e -5. (Podem ter multiplicidades que somem a 5, mas todos os valores apresentados são negativos.)
  • Queremos inferir o comportamento do sinal de f(\vec{v}).

Passo 2

Relembrando um fato-chave (explicação didática): para matrizes simétricas existe o Teorema espectral — isto significa que há uma matriz ortogonal P (ou seja, P^{T}P=I) que diagonaliza A. Em termos práticos isso dá
P^{T} A P = D,
onde D é uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são exatamente os valores próprios de A. Aqui cada entrada diagonal de D é um dos -3,-2,-5, com multiplicidades que completam as 5 entradas diagonais. Vou explicar por que isso é útil: diagonalizar com uma matriz ortogonal é trocar para uma base ortonormal formada por autovetores de A; nessa base a forma quadrática fica muito simples.

Passo 3

Transformação da forma quadrática usando essa diagonalização (passo-a-passo): defina \vec{u}=P^{T}\vec{v}. Como P é ortogonal, \vec{u}=P^{T}\vec{v} é uma mudança de coordenadas que preserva se \vec{v} é zero ou não (isto é, \vec{v}=\vec{0} sse \vec{u}=\vec{0}). Agora compute f(\vec{v}) escrevendo A na forma diagonal:
f(\vec{v})=\vec{v}^{T}A\vec{v}=\vec{v}^{T}P D P^{T}\vec{v}=(P^{T}\vec{v})^{T} D (P^{T}\vec{v})=\vec{u}^{T}D\vec{u}.
Como D é diagonal, escrevemos \vec{u}=(u_{1},\dots,u_{5})^{T} e se as entradas diagonais de D forem \lambda_{1},\dots,\lambda_{5} (os autovalores repetidos conforme multiplicidade), então
\vec{u}^{T}D\vec{u}=\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}u_{i}^{2}.
Essa é a fórmula prática: a forma quadrática vira uma soma ponderada de quadrados das coordenadas u_{i}^{2}, com pesos \lambda_{i}.

Passo 4

Interprete essa soma com relação ao sinal: cada termo \lambda_{i}u_{i}^{2} tem o mesmo sinal de \lambda_{i} (porque u_{i}^{2}\ge 0). Se todos os \lambda_{i} forem negativos, cada termo é \le 0 e, desde que pelo menos um u_{i}\neq 0, a soma será estritamente negativa. Se algum \lambda_{i} for positivo e algum negativo, a soma pode assumir sinais diferentes conforme u_{i}. Se houver algum \lambda_{i}=0, então existem vetores não-nulos com soma igual a zero (quando todos os u_{j} correspondentes a \lambda_{j}\neq 0 forem zero), e a forma seria semidefinida.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: o enunciado nos dá os valores próprios -3, -2 e -5. Mesmo que o enunciado não especifique multiplicidades, todas as entradas do diagonal D — ou seja, todos os \lambda_{i} para i=1,\dots,5 — são escolhidas entre esses números, logo são todas negativas. Em particular, NÃO há nenhum autovalor igual a 0 e NÃO há autovalor positivo.

Passo 6

Concluímos então, pelo argumento da soma ponderada: para qualquer \vec{v}\neq\vec{0} temos \vec{u}=P^{T}\vec{v}\neq\vec{0}, então existe pelo menos um índice i com u_{i}\neq 0. Como cada \lambda_{i}<0, o termo \lambda_{i}u_{i}^{2} é estritamente negativo e todos os outros termos são \le 0; portanto a soma
f(\vec{v})=\sum_{i=1}^{5}\lambda_{i}u_{i}^{2}
é estritamente negativa. Assim f(\vec{v})<0 para todo \vec{v}\neq\vec{0}.

Passo 7

Interpretação final e vínculo com as alternativas: o resultado acima diz que a forma quadrática é negativa definida (toda avaliação em vetor não-nulo dá número negativo). Isso exclui alternativas que afirmam existência de valores positivos ou de zeros não-triviais, e confirma a alternativa que afirma f(\vec{v})<0 para todo \vec{v}\neq\vec{0}.

Resposta

D

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