Q15: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
com
.
(B) existem
e
tais que
.
(C)
para todo
e existe
.
(D)
para todo
.
(E)
para todo
.
(A)
(B) existem
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica
, chamada
, e define a forma quadrática associada
Diz também que o espectro (conjunto de valores próprios) de
é
. A pergunta implícita é: qual das alternativas (A)–(E) descreve corretamente o sinal de
para vetores
(se é sempre
, existe nulo não-trivial, muda de sinal, etc.)?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
é simétrica . - Os valores próprios (os elementos do espectro) citados são
, e . (Podem ter multiplicidades que somem a 5, mas todos os valores apresentados são negativos.) - Queremos inferir o comportamento do sinal de
.
Passo 2
Relembrando um fato-chave (explicação didática): para matrizes simétricas existe o Teorema espectral — isto significa que há uma matriz ortogonal
(ou seja,
) que diagonaliza
. Em termos práticos isso dá
onde
é uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são exatamente os valores próprios de
. Aqui cada entrada diagonal de
é um dos
, com multiplicidades que completam as 5 entradas diagonais. Vou explicar por que isso é útil: diagonalizar com uma matriz ortogonal é trocar para uma base ortonormal formada por autovetores de
; nessa base a forma quadrática fica muito simples.
Passo 3
Transformação da forma quadrática usando essa diagonalização (passo-a-passo): defina
. Como
é ortogonal,
é uma mudança de coordenadas que preserva se
é zero ou não (isto é,
sse
). Agora compute
escrevendo
na forma diagonal:
Como
é diagonal, escrevemos
e se as entradas diagonais de
forem
(os autovalores repetidos conforme multiplicidade), então
Essa é a fórmula prática: a forma quadrática vira uma soma ponderada de quadrados das coordenadas
, com pesos
.
Passo 4
Interprete essa soma com relação ao sinal: cada termo
tem o mesmo sinal de
(porque
). Se todos os
forem negativos, cada termo é
e, desde que pelo menos um
, a soma será estritamente negativa. Se algum
for positivo e algum negativo, a soma pode assumir sinais diferentes conforme
. Se houver algum
, então existem vetores não-nulos com soma igual a zero (quando todos os
correspondentes a
forem zero), e a forma seria semidefinida.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: o enunciado nos dá os valores próprios
,
e
. Mesmo que o enunciado não especifique multiplicidades, todas as entradas do diagonal
— ou seja, todos os
para
— são escolhidas entre esses números, logo são todas negativas. Em particular, NÃO há nenhum autovalor igual a
e NÃO há autovalor positivo.
Passo 6
Concluímos então, pelo argumento da soma ponderada: para qualquer
temos
, então existe pelo menos um índice
com
. Como cada
, o termo
é estritamente negativo e todos os outros termos são
; portanto a soma
é estritamente negativa. Assim
para todo
.
Passo 7
Interpretação final e vínculo com as alternativas: o resultado acima diz que a forma quadrática é negativa definida (toda avaliação em vetor não-nulo dá número negativo). Isso exclui alternativas que afirmam existência de valores positivos ou de zeros não-triviais, e confirma a alternativa que afirma
para todo
.
Resposta
D