Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-8,6) e \vec{v}=(0,-1). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(4,-2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-2,3), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
  • Dá os vetores na base canônica: \vec{u}=(-8,6) e \vec{v}=(0,-1).
  • Diz que as coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(4,-2) e [\vec{v}]_{\beta}=(-2,3).
  • Pede para identificar \vec{b}_{2} entre as alternativas, que mostram apenas a segunda componente de \vec{b}_{2} (o primeiro componente está como *).
Informações relevantes anotadas:
\vec{u}=(-8,6),\quad [\vec{u}]_{\beta}=(4,-2)
\vec{v}=(0,-1),\quad [\vec{v}]_{\beta}=(-2,3)

Passo 2

Entendendo o significado das coordenadas em \beta (aulas rápidas):
  • Quando escrevemos [\vec{u}]_{\beta}=(4,-2), isso significa que, na base \beta, \vec{u}=4\vec{b}_{1}+(-2)\vec{b}_{2}=4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}.
  • Similarmente, [\vec{v}]_{\beta}=(-2,3) significa \vec{v}=(-2)\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}=-2\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}.
  • Vou chamar \vec{b}_{1}=(x_{1},y_{1}) e \vec{b}_{2}=(x_{2},y_{2}). Nosso objetivo é encontrar (x_{2},y_{2}), a segunda componente y_{2} é que decide a alternativa.

Passo 3

Traduzindo as igualdades em sistemas para as componentes x e y:
  • Da igualdade para \vec{u}: 4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}=\vec{u}=(-8,6).Isso gera, separando componentes, 4x_{1}-2x_{2}=-8
4y_{1}-2y_{2}=6.
  • Da igualdade para \vec{v}: -2\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}=\vec{v}=(0,-1),que dá -2x_{1}+3x_{2}=0
-2y_{1}+3y_{2}=-1.

Passo 4

Resolver o sistema para as componentes x_{1},x_{2}\) (parte \(x\)): Temos \[\begin{cases} 4x_{1}-2x_{2}=-8,\\[4pt] -2x_{1}+3x_{2}=0. \end{cases}
Multiplico a segunda equação por 2\] para eliminar \(x_{1}:
-4x_{1}+6x_{2}=0.
Somando com a primeira equação:
(4x_{1}-2x_{2})+(-4x_{1}+6x_{2}) = -8 + 0
4x_{2} = -8 \implies x_{2} = -2.
Substituo x_{2}=-2 na primeira equação:
4x_{1}-2(-2)=-8 \implies 4x_{1}+4=-8 \implies 4x_{1}=-12 \implies x_{1}=-3.]

Passo 5

Resolver o sistema para as componentes y_{1},y_{2}\) (parte \(y\)): Temos \[\begin{cases} 4y_{1}-2y_{2}=6,\\[4pt] -2y_{1}+3y_{2}=-1. \end{cases}
Multiplico a segunda equação por (2]:
-4y_{1}+6y_{2}=-2.
Somando com a primeira:
(4y_{1}-2y_{2})+(-4y_{1}+6y_{2}) = 6 + (-2)
4y_{2} = 4 \implies y_{2}=1.
Substituo y_{2}=1 na primeira equação:
4y_{1}-2(1)=6 \implies 4y_{1}-2=6 \implies 4y_{1}=8 \implies y_{1}=2.]

Passo 6

Resultado encontrado e checagem rápida:
  • Obtivemos \vec{b}_{1}=(-3,2) e \vec{b}_{2}=(-2,1).
  • Verificação rápida (opcional): calcular 4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}=4(-3,2)-2(-2,1)=(-12,8)-(-4,2)=(-12+4,8-2)=(-8,6)=\vec{u} e -2\vec{b}_{1}+3\vec{b}_{2}=-2(-3,2)+3(-2,1)=(6,-4)+(-6,3)=(0,-1)=\vec{v}. Está consistente.
  • A segunda componente de \vec{b}_{2} é 1, que corresponde à alternativa (H).

Resposta

(H) \begin{pmatrix}-2 \\\\ 1\end{pmatrix}

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