Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(1,1,2),(-2,-1,-4)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,0,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}
H=\operatorname{span}\{(1,1,2),(-2,-1,-4)\}
e
M=\operatorname{span}\{(-2,0,1)\}.
Pede-se: encontrar o vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tenha a forma \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}). Em particular, precisamos determinar o valor de x_{3} (entre as opções fornecidas).
As informações relevantes são:
\bullet os geradores de H são (1,1,2) e (-2,-1,-4);\n
\bullet o gerador de M é (-2,0,1);\n
\bullet M^{\perp} é o conjunto de vetores ortogonais a (-2,0,1); ou seja, vetores \vec{v} tais que \vec{v}\cdot(-2,0,1)=0.\n

Passo 2

Vou explicar o conceito que vamos usar: o produto escalar (ou produto interno) em \mathbb{R}^{3} entre \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
O subespaço ortogonal M^{\perp} é formado por todos os vetores \vec{x} que satisfazem \vec{x}\cdot \vec{m}=0 para todo \vec{m}\in M. Como M é gerado por \vec{m}=(-2,0,1), basta exigir
\vec{x}\cdot(-2,0,1)=0.

Passo 3

Calculemos a condição explícita para \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}) estar em M^{\perp}:
(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot(-2,0,1)=-2x_{1}+0\cdot x_{2}+x_{3}=0.
Portanto a condição é
-2x_{1}+x_{3}=0,
ou seja
x_{3}=2x_{1}.
Isto nos dá uma relação simples entre as coordenadas de qualquer vetor em M^{\perp}.

Passo 4

Agora imponho a forma pedida \vec{x}=(1,x_{2},x_{3}); aqui x_{1}=1. Usando a relação obtida em M^{\perp},
x_{3}=2x_{1}=2\cdot 1=2.
Logo qualquer vetor da forma (1,x_{2},x_{3}) que pertença a M^{\perp} terá necessariamente x_{3}=2. Assim x_{3} é determinado unicamente por essa condição e vale 2.

Passo 5

(Para garantir que tal vetor realmente pertence também a H: note que os geradores de H, (1,1,2) e (-2,-1,-4), são ambos ortogonais a (-2,0,1) — verificação rápida:
(-2,0,1)\cdot(1,1,2)=-2+0+2=0,
(-2,0,1)\cdot(-2,-1,-4)=4+0-4=0.
Portanto H\subseteq M^{\perp}, e existe pelo menos um vetor em H com primeira coordenada 1: por exemplo (1,1,2)\in H\cap M^{\perp}. Isso confirma que a escolha x_{3}=2 é consistente com pertencer a H.)

Resposta

2

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