Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
e
Pede-se: encontrar o vetor
que tenha a forma
. Em particular, precisamos determinar o valor de
(entre as opções fornecidas).
As informações relevantes são:
os geradores de
são
e
;\n
o gerador de
é
;\n
é o conjunto de vetores ortogonais a
; ou seja, vetores
tais que
.\n
Passo 2
Vou explicar o conceito que vamos usar: o produto escalar (ou produto interno) em
entre
e
é
O subespaço ortogonal
é formado por todos os vetores
que satisfazem
para todo
. Como
é gerado por
, basta exigir
Passo 3
Calculemos a condição explícita para
estar em
:
Portanto a condição é
ou seja
Isto nos dá uma relação simples entre as coordenadas de qualquer vetor em
.
Passo 4
Agora imponho a forma pedida
; aqui
. Usando a relação obtida em
,
Logo qualquer vetor da forma
que pertença a
terá necessariamente
. Assim
é determinado unicamente por essa condição e vale
.
Passo 5
(Para garantir que tal vetor realmente pertence também a
: note que os geradores de
,
e
, são ambos ortogonais a
— verificação rápida:
Portanto
, e existe pelo menos um vetor em
com primeira coordenada
: por exemplo
. Isso confirma que a escolha
é consistente com pertencer a
.)
Resposta
2