Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -5 & 9 \\\\ 1 & -6 & -11 & 1 \\\\ -2 & -2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 6 & 1 & 7 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -5 & 9 \\\\ 1 & -6 & -11 & 1 \\\\ -2 & -2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 6 & 1 & 7 \end{array}\right]
Ou seja, temos uma matriz A (com 4 linhas e 3 colunas) e um vetor \vec{b} de 4 entradas, e queremos a solução \vec{x} que minimiza o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2. A pergunta final é: qual é o valor de x_{1}, a primeira entrada do vetor \vec{x}? As alternativas são (A) -4, (B) -3, \text{(C)} -2, (D) -1, (E) 1, (F) 2, (G) 3, (H) 4.
Dados extraídos da matriz aumentada: as linhas de A e as entradas de \vec{b} são explicitamente
\text{linha 1 de }A: (-1,\,-1,\,-5),\quad b_1=9,
\text{linha 2 de }A: (1,\,-6,\,-11),\quad b_2=1,
\text{linha 3 de }A: (-2,\,-2,\,0),\quad b_3=3,
\text{linha 4 de }A: (-1,\,6,\,1),\quad b_4=7.

Passo 2

Conceito e método (resumo didático): a solução dos mínimos quadrados \vec{x} é a que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2. Isso leva às equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Explicação: A^{T}A é uma matriz quadrada 3\times3 cujas entradas são somas de produtos das colunas de A; A^{T}\vec{b} é um vetor cujas entradas são somas de produtos das colunas de A com \vec{b}. Resolver as equações normais dá a solução de mínimos quadrados (é como projetar \vec{b} na imagem de A). Outra forma equivalente é calcular \vec{x}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\vec{b} quando A^{T}A é invertível.

Passo 3

Escrevendo A e \vec{b} explicitamente (peguei estes dados da matriz aumentada):
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -5\\[4pt] 1 & -6 & -11\\[4pt] -2 & -2 & 0\\[4pt] -1 & 6 & 1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}9\\[4pt]1\\[4pt]3\\[4pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos calcular A^{T}A componente a componente. Considere as colunas de A:
\text{col}_1 = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad \text{col}_2 = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-6\\[4pt]-2\\[4pt]6\end{pmatrix},\quad \text{col}_3 = \begin{pmatrix}-5\\[4pt]-11\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora as entradas de A^{T}A são somas de produtos correspondentes:
(A^{T}A)_{11}=\sum (\text{col}_1)^2 = (-1)^2+1^2+(-2)^2+(-1)^2=1+1+4+1=7.
(A^{T}A)_{12}=\sum \text{col}_1\cdot\text{col}_2 = (-1)(-1)+1(-6)+(-2)(-2)+(-1)6=1-6+4-6=-7.
(A^{T}A)_{13}=\sum \text{col}_1\cdot\text{col}_3 = (-1)(-5)+1(-11)+(-2)(0)+(-1)(1)=5-11+0-1=-7.
(A^{T}A)_{22}=\sum (\text{col}_2)^2 = (-1)^2+(-6)^2+(-2)^2+6^2=1+36+4+36=77.
(A^{T}A)_{23}=\sum \text{col}_2\cdot\text{col}_3 = (-1)(-5)+(-6)(-11)+(-2)(0)+6(1)=5+66+0+6=77.
(A^{T}A)_{33}=\sum (\text{col}_3)^2 = (-5)^2+(-11)^2+0^2+1^2=25+121+0+1=147.
Como A^{T}A é simétrica, obtemos
A^{T}A=\begin{pmatrix} 7 & -7 & -7\\[4pt] -7 & 77 & 77\\[4pt] -7 & 77 & 147 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calcule A^{T}\vec{b} componente a componente (produto das colunas de A pelos elementos de \vec{b}):
(A^{T}\vec{b})_1=\sum \text{col}_1\cdot b = (-1)9 + 1\cdot1 + (-2)3 + (-1)7 = -9+1-6-7=-21.
(A^{T}\vec{b})_2=\sum \text{col}_2\cdot b = (-1)9 + (-6)1 + (-2)3 + 6\cdot7 = -9-6-6+42=21.
(A^{T}\vec{b})_3=\sum \text{col}_3\cdot b = (-5)9 + (-11)1 + 0\cdot3 + 1\cdot7 = -45-11+0+7=-49.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-21\\[4pt]21\\[4pt]-49\end{pmatrix}.]

Passo 6

As equações normais ficam
\begin{pmatrix} 7 & -7 & -7\\[4pt] -7 & 77 & 77\\[4pt] -7 & 77 & 147 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-21\\[4pt]21\\[4pt]-49\end{pmatrix}.
Agora resolvemos este sistema linear 3\times3 por eliminação de Gauss.]

Passo 7

Efetuando eliminação (mostro as operações passo a passo):
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrr|r} 7 & -7 & -7 & -21\\[4pt] -7 & 77 & 77 & 21\\[4pt] -7 & 77 & 147 & -49 \end{array}\right]
Faça R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + R_1:
\left[\begin{array}{rrr|r} 7 & -7 & -7 & -21\\[4pt] 0 & 70 & 70 & 0\\[4pt] 0 & 70 & 140 & -70 \end{array}\right]
Divida R_2 por 70 (simplificação):
\left[\begin{array}{rrr|r} 7 & -7 & -7 & -21\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 70 & 140 & -70 \end{array}\right]
Elimine a coluna 2 em R_3: faça R_3 \leftarrow R_3 - 70 R_2:
\left[\begin{array}{rrr|r} 7 & -7 & -7 & -21\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 70 & -70 \end{array}\right]
Agora resolução por retorno:
Da última linha: 70 x_3 = -70 então
x_3 = -1.
Da segunda linha: x_2 + x_3 = 0 então
x_2 = -x_3 = -(-1)=1.
Da primeira linha: 7x_1 -7x_2 -7x_3 = -21. Substituindo x_2=1 e x_3=-1:
7x_1 -7(1) -7(-1) = -21 \quad\Rightarrow\quad 7x_1 -7 +7 = -21 \quad\Rightarrow\quad 7x_1 = -21.
Logo
x_1 = -3.]

Passo 8

Concluímos que a solução de mínimos quadrados tem componentes
\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
portanto a primeira entrada é \;x_1=-3. Isso corresponde à alternativa (B). Força aí — já era! 😃]

Resposta

(B) -3

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