Ou seja, temos uma matriz A (com 4 linhas e 3 colunas) e um vetor \vec{b} de 4 entradas, e queremos a solução \vec{x} que minimiza o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2. A pergunta final é: qual é o valor de x_{1}, a primeira entrada do vetor \vec{x}? As alternativas são (A)-4, (B)-3, \text{(C)}-2, (D)-1, (E)1, (F)2, (G)3, (H)4.
Dados extraídos da matriz aumentada: as linhas de A e as entradas de \vec{b} são explicitamente
\text{linha 1 de }A: (-1,\,-1,\,-5),\quad b_1=9,
\text{linha 2 de }A: (1,\,-6,\,-11),\quad b_2=1,
\text{linha 3 de }A: (-2,\,-2,\,0),\quad b_3=3,
\text{linha 4 de }A: (-1,\,6,\,1),\quad b_4=7.
Passo 2
Conceito e método (resumo didático): a solução dos mínimos quadrados \vec{x} é a que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2. Isso leva às equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Explicação: A^{T}A é uma matriz quadrada 3\times3 cujas entradas são somas de produtos das colunas de A; A^{T}\vec{b} é um vetor cujas entradas são somas de produtos das colunas de A com \vec{b}. Resolver as equações normais dá a solução de mínimos quadrados (é como projetar \vec{b} na imagem de A). Outra forma equivalente é calcular \vec{x}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\vec{b} quando A^{T}A é invertível.
Passo 3
Escrevendo A e \vec{b} explicitamente (peguei estes dados da matriz aumentada):