Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Tem-se o subespaço
. Ou seja, vetores de são combinações lineares dessas duas bases. - Tem-se o subespaço
. - Queremos o vetor
que pertence a e que tem a forma . - A pergunta final é: qual é o valor de
? (há opções dadas).
Passo 2
Entendendo a condição
.
Se , existem escalares
tais que
Se
Escrevendo componente a componente, isso dá três equações:
Passo 3
Entendendo a condição
.
Por definição, é o conjunto de vetores ortogonais ao gerador de
. Então
significa
Por definição,
onde
é o produto escalar (ou ponto). Lembre: o produto escalar de
por
é
.
Passo 4
Usar a forma
para aplicar a condição de ortogonalidade de forma eficiente. Então
Distribuindo o produto escalar (linearidade), obtemos
Calculemos os dois produtos escalares:
Substituindo, a equação de ortogonalidade vira
Dividindo por
,
Passo 5
Agora resolvemos o sistema formado pelas equações da condição de pertencer a
Da segunda equação segue
.]
Passo 6
Com
e
usamos a fórmula da componente terceira dada no passo 2:
Portanto o valor de
é
. (Também se poderia obter
, e assim
, que de fato pertence a
e é ortogonal a
.)