Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(1,1,-1),(1,2,-4)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,5,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Tem-se o subespaço H=\operatorname{span}\{(1,1,-1),(1,2,-4)\}. Ou seja, vetores de H são combinações lineares dessas duas bases.
  • Tem-se o subespaço M=\operatorname{span}\{(-2,5,1)\}.
  • Queremos o vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=\left(-1,x_{2},x_{3}\right).
  • A pergunta final é: qual é o valor de x_{3}? (há opções dadas).

Passo 2

Entendendo a condição \vec{x}\in H.
Se \vec{x}\in H, existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(1,1,-1)+b(1,2,-4).
Escrevendo componente a componente, isso dá três equações:
\begin{aligned} \text{(1) }& -1 = a + b,\\\ \text{(2) }& x_{2} = a + 2b,\\\ \text{(3) }& x_{3} = -a -4b. \end{aligned}

Passo 3

Entendendo a condição \vec{x}\in M^{\perp}.
Por definição, M^{\perp} é o conjunto de vetores ortogonais ao gerador de M. Então \vec{x}\in M^{\perp} significa
\vec{x}\cdot(-2,5,1)=0,
onde \cdot é o produto escalar (ou ponto). Lembre: o produto escalar de (u_1,u_2,u_3) por (v_1,v_2,v_3) é u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Passo 4

Usar a forma \vec{x}=a(1,1,-1)+b(1,2,-4) para aplicar a condição de ortogonalidade de forma eficiente. Então
\vec{x}\cdot(-2,5,1)=\big(a(1,1,-1)+b(1,2,-4)\big)\cdot(-2,5,1)=0.
Distribuindo o produto escalar (linearidade), obtemos
a\big((1,1,-1)\cdot(-2,5,1)\big)+b\big((1,2,-4)\cdot(-2,5,1)\big)=0.
Calculemos os dois produtos escalares:
(1,1,-1)\cdot(-2,5,1) = 1\cdot(-2)+1\cdot5+(-1)\cdot1 = -2+5-1 = 2,
(1,2,-4)\cdot(-2,5,1) = 1\cdot(-2)+2\cdot5+(-4)\cdot1 = -2+10-4 = 4.
Substituindo, a equação de ortogonalidade vira
2a+4b=0.
Dividindo por 2,
a+2b=0.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado pelas equações da condição de pertencer a H\) (equação (1)) e a equação de ortogonalidade obtida: \[\begin{cases} -1 = a + b,\\[4pt] 0 = a + 2b. \end{cases}
Da segunda equação segue a=-2b\]. Substituindo na primeira: \[-1 = (-2b)+b = -b \quad\Rightarrow\quad b=1.\] Logo \(a=-2.]

Passo 6

Com a=-2 e b=1 usamos a fórmula da componente terceira dada no passo 2:
x_{3} = -a -4b = -(-2) -4\cdot 1 = 2 -4 = -2.
Portanto o valor de x_{3} é -2. (Também se poderia obter x_{2}=a+2b=-2+2=0, e assim \vec{x}=(-1,0,-2), que de fato pertence a H e é ortogonal a (-2,5,1).)

Resposta

-2

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