Assinale o valor de x_{2}, a 2{ }^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear dado pela matriz aumentada. O objetivo final é informar o valor de \,x_{2}\, (a segunda entrada do vetor solução \vec{x}).
Peguei os dados da matriz aumentada fornecida; as linhas correspondem às equações do sistema A\vec{x}=\vec{b}. Portanto:
A matriz A (4×3) tem as linhas
linha 1: (1,\;0,\;-3)
linha 2: (-1,\;-2,\;-6)
linha 3: (2,\;1,\;2)
linha 4: (-1,\;-3,\;0)
O vetor \vec{b} tem as entradas
b_{1}=-3,\; b_{2}=15,\; b_{3}=-5,\; b_{4}=7.
O que preciso devolver: o valor numérico de \,x_{2}\, da solução de mínimos quadrados de A\vec{x}=\vec{b}.
Passo 2
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e qual equação vamos resolver?
Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobredeterminado (mais equações que incógnitas), geralmente não existe \vec{x} que satisfaça todas as equações exatamente. A solução de mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza o erro quadrático \lVert A\vec{x}-\vec{b}\rVert^{2} (soma dos quadrados dos resíduos).
A condição necessária e suficiente para mínimo é dada pelas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui:
A^{T} é a transposta de A;
\vec{x} é o vetor incógnita (x_{1},x_{2},x_{3})^{T};
\vec{b} é o vetor de termos independentes.
Então o plano de ação: calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} (pegando os números da matriz aumentada), e resolver o sistema linear A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Passo 3
Vou listar as colunas de A (útil para calcular produtos):
primeira coluna: (1,\,-1,\,2,\,-1)^{T}
segunda coluna: (0,\,-2,\,1,\,-3)^{T}
terceira coluna: (-3,\,-6,\,2,\,0)^{T}
Agora calculo cada entrada de A^{T}A. A entrada (i,j) é o produto interno da coluna i com a coluna j, ou seja soma dos produtos termo a termo.
Agora calculo A^{T}\vec{b}. Cada entrada é o produto interno entre uma coluna de A e \vec{b}. Lembre-se que peguei \vec{b}=(-3,\,15,\,-5,\,7)^{T} da matriz aumentada.
Interpretação final e incentivo rápido: a solução encontrada minimiza \lVert A\vec{x}-\vec{b}\rVert^{2}. Pode parecer muita conta, mas o truque prático em prova é montar A^{T}A e A^{T}b e simplificar (aqui dividir por 7 ajudou muito). Tá indo bem — respira e confia na rotina!