Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -3 & -3 \\\\ -1 & -2 & -6 & 15 \\\\ 2 & 1 & 2 & -5 \\\\ -1 & -3 & 0 & 7 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{2}, a 2{ }^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear dado pela matriz aumentada. O objetivo final é informar o valor de \,x_{2}\, (a segunda entrada do vetor solução \vec{x}).
Peguei os dados da matriz aumentada fornecida; as linhas correspondem às equações do sistema A\vec{x}=\vec{b}. Portanto:
  • A matriz A (4×3) tem as linhas
    • linha 1: (1,\;0,\;-3)
    • linha 2: (-1,\;-2,\;-6)
    • linha 3: (2,\;1,\;2)
    • linha 4: (-1,\;-3,\;0)
  • O vetor \vec{b} tem as entradas
    • b_{1}=-3,\; b_{2}=15,\; b_{3}=-5,\; b_{4}=7.
O que preciso devolver: o valor numérico de \,x_{2}\, da solução de mínimos quadrados de A\vec{x}=\vec{b}.

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e qual equação vamos resolver?
Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobredeterminado (mais equações que incógnitas), geralmente não existe \vec{x} que satisfaça todas as equações exatamente. A solução de mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza o erro quadrático \lVert A\vec{x}-\vec{b}\rVert^{2} (soma dos quadrados dos resíduos).
A condição necessária e suficiente para mínimo é dada pelas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui:
  • A^{T} é a transposta de A;
  • \vec{x} é o vetor incógnita (x_{1},x_{2},x_{3})^{T};
  • \vec{b} é o vetor de termos independentes.
Então o plano de ação: calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} (pegando os números da matriz aumentada), e resolver o sistema linear A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.

Passo 3

Vou listar as colunas de A (útil para calcular produtos):
  • primeira coluna: (1,\,-1,\,2,\,-1)^{T}
  • segunda coluna: (0,\,-2,\,1,\,-3)^{T}
  • terceira coluna: (-3,\,-6,\,2,\,0)^{T}
Agora calculo cada entrada de A^{T}A. A entrada (i,j) é o produto interno da coluna i com a coluna j, ou seja soma dos produtos termo a termo.
Cálculos (mostrando cada soma):
\begin{aligned} (A^{T}A)_{11} &= 1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=1+1+4+1=7,\\[4pt] (A^{T}A)_{22} &= 0^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+(-3)^{2}=0+4+1+9=14,\\[4pt] (A^{T}A)_{33} &= (-3)^{2}+(-6)^{2}+2^{2}+0^{2}=9+36+4+0=49,\\[4pt] (A^{T}A)_{12} &= 1\cdot0+(-1)\cdot(-2)+2\cdot1+(-1)\cdot(-3)=0+2+2+3=7,\\[4pt] (A^{T}A)_{13} &= 1\cdot(-3)+(-1)\cdot(-6)+2\cdot2+(-1)\cdot0=-3+6+4+0=7,\\[4pt] (A^{T}A)_{23} &= 0\cdot(-3)+(-2)\cdot(-6)+1\cdot2+(-3)\cdot0=0+12+2+0=14. \end{aligned}
Como A^{T}A é simétrica, os elementos abaixo da diagonal são iguais aos correspondentes acima. Assim
A^{T}A= \begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\[4pt] 7 & 14 & 14\\[4pt] 7 & 14 & 49 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo A^{T}\vec{b}. Cada entrada é o produto interno entre uma coluna de A e \vec{b}. Lembre-se que peguei \vec{b}=(-3,\,15,\,-5,\,7)^{T} da matriz aumentada.
Cálculos:
\begin{aligned} (A^{T}\vec{b})_{1} &= 1\cdot(-3)+(-1)\cdot15+2\cdot(-5)+(-1)\cdot7 = -3-15-10-7=-35,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{2} &= 0\cdot(-3)+(-2)\cdot15+1\cdot(-5)+(-3)\cdot7 = 0-30-5-21=-56,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{3} &= (-3)\cdot(-3)+(-6)\cdot15+2\cdot(-5)+0\cdot7 = 9-90-10+0=-91. \end{aligned}
Portanto
A^{T}\vec{b}= \begin{pmatrix} -35\\[4pt] -56\\[4pt] -91 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Temos agora as equações normais
\begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\[4pt] 7 & 14 & 14\\[4pt] 7 & 14 & 49 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-35\\[4pt]-56\\[4pt]-91\end{pmatrix}.
Para simplificar as contas, divido toda a equação por 7 (número comum em todas as entradas), obtendo um sistema equivalente:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[4pt]-8\\[4pt]-13\end{pmatrix}.
Vou resolver esse sistema por eliminação (passo a passo, sem pular etapas).
Chamo as equações de:
\begin{aligned} (1)&:\; x_{1}+x_{2}+x_{3}=-5,\\[4pt] (2)&:\; x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-8,\\[4pt] (3)&:\; x_{1}+2x_{2}+7x_{3}=-13. \end{aligned}
Subtraio (1) de (2): (2)-(1)
x_{2}+x_{3}=-3. \quad\text{(chamo isto de (4))}
Subtraio (2) de (3): (3)-(2)
5x_{3}=-5 \;\Rightarrow\; x_{3}=-1.
Com x_{3}=-1 e (4): x_{2}+(-1)=-3 então
x_{2}=-2.
Finalmente, uso (1) para obter x_{1}:
x_{1}+x_{2}+x_{3}=-5 \;\Rightarrow\; x_{1}+(-2)+(-1)=-5 \;\Rightarrow\; x_{1}=-2.
Assim a solução de mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido: a solução encontrada minimiza \lVert A\vec{x}-\vec{b}\rVert^{2}. Pode parecer muita conta, mas o truque prático em prova é montar A^{T}A e A^{T}b e simplificar (aqui dividir por 7 ajudou muito). Tá indo bem — respira e confia na rotina!

Resposta

(C) -2

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