e o vetor \vec{v}=(-5,-10,-30,-10,5).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^{5}
Pede-se a coordenada x_{4} de \mathbf{v} na base \beta, ou seja a quarta entrada do vetor de coordenadas [\mathbf{v}]_{\beta}. O enunciado diz que a base é ortogonal e lembra que não é necessário resolver sistema linear.
Passo 2
Propriedade essencial (explicação didática):
Se \beta é uma base ortogonal, então os vetores \mathbf{b}_i satisfazem \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j=0 para i\neq j. Se escrevemos
\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{5} x_i\,\mathbf{b}_i,
e fazemos o produto interno com \mathbf{b}_4, obtemos