Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 1 \\\\ 9 \\\\ 6 \\\\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -7 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ -4 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-5,-10,-30,-10,5).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_4,\mathbf{b}_5\right\}
com
\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ -2\\\ 2\\\ 3\end{bmatrix},\\ \mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}-4\\\ 1\\\ 9\\\ 6\\\ 4\end{bmatrix},\\ \mathbf{b}_3=\begin{bmatrix}-2\\\ -7\\\ -3\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix},\\ \mathbf{b}_4=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\\\ -2\\\ 2\\\ -2\end{bmatrix},\\ \mathbf{b}_5=\begin{bmatrix}4\\\ -1\\\ 1\\\ 4\\\ -4\end{bmatrix},
e o vetor
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}-5\\\ -10\\\ -30\\\ -10\\\ 5\end{bmatrix}.
Pede-se a coordenada x_{4} de \mathbf{v} na base \beta, ou seja a quarta entrada do vetor de coordenadas [\mathbf{v}]_{\beta}. O enunciado diz que a base é ortogonal e lembra que não é necessário resolver sistema linear.

Passo 2

Propriedade essencial (explicação didática):
Se \beta é uma base ortogonal, então os vetores \mathbf{b}_i satisfazem \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j=0 para i\neq j. Se escrevemos
\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{5} x_i\,\mathbf{b}_i,
e fazemos o produto interno com \mathbf{b}_4, obtemos
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_4=\sum_{i=1}^{5} x_i(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_4).
Como \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_4=0 para i\neq4, todos os termos desaparecem, sobrando
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_4 = x_4(\mathbf{b}_4\cdot\mathbf{b}_4).
Portanto a fórmula prática para a coordenada x_4 é
x_4=\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_4}{\mathbf{b}_4\cdot\mathbf{b}_4}.
Breve lembrete sobre produto escalar: para dois vetores \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_5) e \mathbf{w}=(w_1,\dots,w_5),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=\sum_{k=1}^{5} u_k w_k,
ou seja multiplica-se componente a componente e soma-se.

Passo 3

Calcular o numerador \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_4. Usando as componentes:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_4 = (-5)(-3)+(-10)(2)+(-30)(-2)+(-10)(2)+(5)(-2).
Fazendo as contas passo a passo:
(-5)(-3)=15,\quad (-10)(2)=-20,\quad (-30)(-2)=60,
(-10)(2)=-20,\quad (5)(-2)=-10.
Somando:
15-20+60-20-10 = 25.

Passo 4

Calcular o denominador \mathbf{b}_4\cdot\mathbf{b}_4 (norma ao quadrado de \mathbf{b}_4):
\mathbf{b}_4\cdot\mathbf{b}_4 = (-3)^2+2^2+(-2)^2+2^2+(-2)^2.
Calculando:
9+4+4+4+4 = 25.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Passo 2:
x_4=\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}_4}{\mathbf{b}_4\cdot\mathbf{b}_4}=\dfrac{25}{25}.

Resposta

\;1

Exercícios relacionados