Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(1,1,-3),(1,2,-8)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,6,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3
H=\operatorname{span}\{(1,1,-3),(1,2,-8)\}, \qquad M=\operatorname{span}\{(-2,6,1)\},
e pede: encontrar o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tenha a forma \vec{x}=(-2,x_{2},x_{3}).
Informações relevantes:
  • Um vetor pertence a H se é combinação linear das duas geradoras dadas.
  • Um vetor pertence a M^{\perp} se é ortogonal ao gerador (-2,6,1), isto é seu produto escalar com (-2,6,1) é zero.
    A pergunta específica é: qual é o valor de x_{3} do vetor procurado?

Passo 2

Escrever um vetor genérico de H como combinação linear das geradoras. Seja a,b\in\mathbb{R}. Então qualquer vetor em H tem a forma
\vec{v}=a(1,1,-3)+b(1,2,-8).
Agora expandimos componente a componente.

Passo 3

Expandindo a combinação linear obtemos as componentes de \vec{v}:
\vec{v}=(a+b,\; a+2b,\; -3a-8b).
Como queremos um vetor de forma \vec{x}=(-2,x_{2},x_{3}) e \vec{x}\in H, a primeira componente impõe a equação
a+b=-2.

Passo 4

Agora impomos a condição \vec{x}\in M^{\perp}. Por definição, \vec{x} deve satisfazer
\vec{x}\cdot(-2,6,1)=0,
onde o produto escalar em \mathbb{R}^3 é (u_1,u_2,u_3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3. Vou calcular esse produto usando \vec{v} da etapa anterior.

Passo 5

Substituindo \vec{v}=(a+b,\,a+2b,\,-3a-8b) no produto escalar:
(-2,6,1)\cdot(a+b,\,a+2b,\,-3a-8b)= -2(a+b)+6(a+2b)+1(-3a-8b).
Agora simplificamos termo a termo:
-2a-2b+6a+12b-3a-8b=( -2a+6a-3a ) + ( -2b+12b-8b ) = a+2b.
A condição de ortogonalidade dá então
a+2b=0.

Passo 6

Temos o sistema linear em a,b\): \[\begin{cases} a+b=-2,\\[4pt] a+2b=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda: (a+2b)-(a+b)=b=2\]. Assim \(b=2. Substituindo em a+b=-2 obtemos a=-2-b=-2-2=-4.]

Passo 7

Com a=-4 e b=2 calculamos as componentes de \vec{x}:
x_{1}=a+b=-4+2=-2 \quad(\text{confere}),
x_{2}=a+2b=-4+4=0,
x_{3}=-3a-8b=-3(-4)-8(2)=12-16=-4.

Passo 8

Verificação rápida: o vetor encontrado é \vec{x}=(-2,0,-4). Conferir ortogonalidade:
(-2,0,-4)\cdot(-2,6,1)=(-2)(-2)+0\cdot6+(-4)\cdot1=4+0-4=0,
logo \vec{x}\in M^{\perp}. E já sabemos que \vec{x}\in H porque veio da combinação com a,b encontrados. A solução é única porque o sistema linear para a,b teve solução única.

Resposta

(E) -4

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