Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
e pede: encontrar o único vetor
que tenha a forma
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Um vetor pertence a
se é combinação linear das duas geradoras dadas. - Um vetor pertence a
se é ortogonal ao gerador , isto é seu produto escalar com é zero.
A pergunta específica é: qual é o valor dedo vetor procurado?
Passo 2
Escrever um vetor genérico de
como combinação linear das geradoras. Seja
. Então qualquer vetor em
tem a forma
Agora expandimos componente a componente.
Passo 3
Expandindo a combinação linear obtemos as componentes de
:
Como queremos um vetor de forma
e
, a primeira componente impõe a equação
Passo 4
Agora impomos a condição
. Por definição,
deve satisfazer
onde o produto escalar em
é
. Vou calcular esse produto usando
da etapa anterior.
Passo 5
Substituindo
no produto escalar:
Agora simplificamos termo a termo:
A condição de ortogonalidade dá então
Passo 6
Temos o sistema linear em
Subtraindo a primeira equação da segunda:
. Substituindo em
obtemos
.]
Passo 7
Com
e
calculamos as componentes de
:
Passo 8
Verificação rápida: o vetor encontrado é
. Conferir ortogonalidade:
logo
. E já sabemos que
porque veio da combinação com
encontrados. A solução é única porque o sistema linear para
teve solução única.
Resposta
(E)