e o vetor \vec{v}=(36,-4,2,-2,2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5:
Chamando de \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_4,\mathbf{b}_5 os vetores da base na ordem dada, o problema pede a terceira coordenada x_3 do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5). Ou seja: calcular x_3.]
Passo 2
Fórmula-chave (explicada): se \beta é uma base ortogonal e
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno padrão em \mathbb{R}^5, isto é, o produto escalar (soma dos produtos termo a termo). Vamos usar essa fórmula para j=3.