Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 5 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -7 \\\\ 7 \\\\ -2 \\\\ 5 \\\\ -5 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(36,-4,2,-2,2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5:
\beta=\left\{\begin{pmatrix}3\\[2pt]5\\[2pt]2\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-7\\[2pt]7\\[2pt]-2\\[2pt]5\\[2pt]-5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\[2pt]-1\\[2pt]2\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]-3\\[2pt]-2\\[2pt]2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}\right\}
e o vetor
\vec{v}=\begin{pmatrix}36\\[2pt]-4\\[2pt]2\\[2pt]-2\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Chamando de \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_4,\mathbf{b}_5 os vetores da base na ordem dada, o problema pede a terceira coordenada x_3 do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5). Ou seja: calcular x_3.]

Passo 2

Fórmula-chave (explicada): se \beta é uma base ortogonal e
\vec{v}=x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+\cdots+x_5\mathbf{b}_5,
então, realizando o produto interno com \mathbf{b}_j obtemos
\langle\vec{v},\mathbf{b}_j\rangle = x_1\langle\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_j\rangle+\cdots+x_j\langle\mathbf{b}_j,\mathbf{b}_j\rangle+\cdots+x_5\langle\mathbf{b}_5,\mathbf{b}_j\rangle.
Como a base é ortogonal, para i\neq j vale \langle\mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j\rangle=0. Logo sobra apenas
\langle\vec{v},\mathbf{b}_j\rangle = x_j\,\langle\mathbf{b}_j,\mathbf{b}_j\rangle.
Isto dá a fórmula prática para a coordenada x_j:
x_j=\frac{\langle\vec{v},\mathbf{b}_j\rangle}{\langle\mathbf{b}_j,\mathbf{b}_j\rangle}.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno padrão em \mathbb{R}^5, isto é, o produto escalar (soma dos produtos termo a termo). Vamos usar essa fórmula para j=3.

Passo 3

Peguei do enunciado o terceiro vetor da base:
\mathbf{b}_3=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]-1\\[2pt]2\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Calcular o produto escalar \langle\vec{v},\mathbf{b}_3\rangle fazendo o produto termo a termo:
\langle\vec{v},\mathbf{b}_3\rangle =36\cdot(-3)+(-4)\cdot(-1)+2\cdot2+(-2)\cdot(-3)+2\cdot(-1).
Agora calcular cada termo:
36\cdot(-3)=-108,\quad (-4)\cdot(-1)=4,\quad 2\cdot2=4,\quad (-2)\cdot(-3)=6,\quad 2\cdot(-1)=-2.
Somando:
\langle\vec{v},\mathbf{b}_3\rangle = -108+4+4+6-2 = -96.]

Passo 4

Calcular o denominador \langle\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_3\rangle (norma ao quadrado de \mathbf{b}_3):
\langle\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_3\rangle = (-3)^2+(-1)^2+2^2+(-3)^2+(-1)^2.
Calculando cada termo:
9+1+4+9+1 = 24.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Passo 2 para j=3:
x_3=\frac{\langle\vec{v},\mathbf{b}_3\rangle}{\langle\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_3\rangle} =\frac{-96}{24}=-4.
Portanto a terceira coordenada vale -4, que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) -4

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