e, dentre as alternativas, indicar o valor de x_{3}, a terceira entrada da solução \vec{x}.
Informações dadas (extraídas da matriz aumentada):
A matriz A (coeficientes) tem linhas
(-1,\,-1,\,-1),
(-2,\,3,\,-1),
(2,\,-4,\,6),
(2,\,0,\,-1).
O vetor \vec{b} é (2,\,9,\,-23,\,7)^{T}.
Objetivo final nesta questão: calcular a solução de mínimos quadrados \vec{x} e, em particular, determinar x_{3}.
Passo 2
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e como encontrá-la (aulas rápidas, sem pânico).
Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é incompatível (mais equações que incógnitas ou linhas dependentes), não existe \vec{x} que anule exatamente todos os resíduos. A solução de mínimos quadrados é o vetor \hat{\vec{x}} que minimiza a norma dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.
Uma forma prática (e muito usada em provas) de obter \hat{\vec{x}} é resolver as equações normaisA^{T}A\hat{\vec{x}}=A^{T}\vec{b}.Vou explicar por que isso vale, de forma curta e intuitiva:
A função objetivo é f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}).
Derivando f em relação a \vec{x} e igualando a zero (condição de mínimo), obtemos 2A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=0, que é exatamente A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Desde que A^{T}A seja invertível (ou se resolvermos o sistema linear correspondente de forma adequada), essa equação dá a solução de mínimos quadrados.
Conclusão prática: vamos formar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver o sistema linear resultante para obter \hat{\vec{x}}.
Passo 3
Escrever explicitamente A e \vec{b} (peguei estes dados da matriz aumentada):
Calcular A^{T}A por produtos internos coluna a coluna e A^{T}\vec{b} por produtos coluna com \vec{b}. Vou fazer cada produto detalhadamente (sem pular contas).