Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -1 & 2 \\\\ -2 & 3 & -1 & 9 \\\\ 2 & -4 & 6 & -23 \\\\ 2 & 0 & -1 & 7 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear dado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -1 & 2 \\\\ -2 & 3 & -1 & 9 \\\\ 2 & -4 & 6 & -23 \\\\ 2 & 0 & -1 & 7 \end{array}\right]
e, dentre as alternativas, indicar o valor de x_{3}, a terceira entrada da solução \vec{x}.
Informações dadas (extraídas da matriz aumentada):
  • A matriz A (coeficientes) tem linhas
    • (-1,\,-1,\,-1),
    • (-2,\,3,\,-1),
    • (2,\,-4,\,6),
    • (2,\,0,\,-1).
  • O vetor \vec{b} é (2,\,9,\,-23,\,7)^{T}.
Objetivo final nesta questão: calcular a solução de mínimos quadrados \vec{x} e, em particular, determinar x_{3}.

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e como encontrá-la (aulas rápidas, sem pânico).
  • Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é incompatível (mais equações que incógnitas ou linhas dependentes), não existe \vec{x} que anule exatamente todos os resíduos. A solução de mínimos quadrados é o vetor \hat{\vec{x}} que minimiza a norma dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.
  • Matemática condensada: \hat{\vec{x}}=\arg\min_{\vec{x}}\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}.
  • Uma forma prática (e muito usada em provas) de obter \hat{\vec{x}} é resolver as equações normais A^{T}A\hat{\vec{x}}=A^{T}\vec{b}.Vou explicar por que isso vale, de forma curta e intuitiva:
    • A função objetivo é f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}).
    • Derivando f em relação a \vec{x} e igualando a zero (condição de mínimo), obtemos 2A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=0, que é exatamente A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
    • Desde que A^{T}A seja invertível (ou se resolvermos o sistema linear correspondente de forma adequada), essa equação dá a solução de mínimos quadrados.
  • Conclusão prática: vamos formar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver o sistema linear resultante para obter \hat{\vec{x}}.

Passo 3

Escrever explicitamente A e \vec{b} (peguei estes dados da matriz aumentada):
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\\\ -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -4 & 6 \\\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}2\\\ 9\\\ -23\\\ 7\end{pmatrix}.
Para facilitar cálculos, tomo as colunas de A:
  • \text{col}_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix},
  • \text{col}_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ -4\\\ 0\end{pmatrix},
  • \text{col}_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 6\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular A^{T}A por produtos internos coluna a coluna e A^{T}\vec{b} por produtos coluna com \vec{b}. Vou fazer cada produto detalhadamente (sem pular contas).
Cálculo de A^{T}A:
  • (A^{T}A)_{11}=\text{col}_1\cdot\text{col}_1 = (-1)^2+(-2)^2+2^2+2^2 = 1+4+4+4 = 13.
  • (A^{T}A)_{12}=\text{col}_1\cdot\text{col}_2 = (-1)(-1)+(-2)(3)+2(-4)+2(0)=1-6-8+0=-13.
  • (A^{T}A)_{13}=\text{col}_1\cdot\text{col}_3 = (-1)(-1)+(-2)(-1)+2(6)+2(-1)=1+2+12-2=13.
  • (A^{T}A)_{22}=\text{col}_2\cdot\text{col}_2 = (-1)^2+3^2+(-4)^2+0^2=1+9+16+0=26.
  • (A^{T}A)_{23}=\text{col}_2\cdot\text{col}_3 = (-1)(-1)+3(-1)+(-4)(6)+0(-1)=1-3-24+0=-26.
  • (A^{T}A)_{33}=\text{col}_3\cdot\text{col}_3 = (-1)^2+(-1)^2+6^2+(-1)^2=1+1+36+1=39.
Como A^{T}A é simétrica, obtemos:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 13 & -13 & 13\\\\ -13 & 26 & -26\\\\ 13 & -26 & 39 \end{pmatrix}.
Agora A^{T}\vec{b}, componente a componente:
  • (A^{T}\vec{b})_{1}=\text{col}_1\cdot\vec{b}=(-1)\cdot2+(-2)\cdot9+2\cdot(-23)+2\cdot7=-2-18-46+14=-52.
  • (A^{T}\vec{b})_{2}=\text{col}_2\cdot\vec{b}=(-1)\cdot2+3\cdot9+(-4)\cdot(-23)+0\cdot7=-2+27+92+0=117.
  • (A^{T}\vec{b})_{3}=\text{col}_3\cdot\vec{b}=(-1)\cdot2+(-1)\cdot9+6\cdot(-23)+(-1)\cdot7=-2-9-138-7=-156.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-52\\\ 117\\\ -156\end{pmatrix}.

Passo 5

Resolver as equações normais [A{T}A\vec{x}=A{T}\vec{b}). Escrevendo o sistema:
\begin{cases} 13x_{1}-13x_{2}+13x_{3}=-52,\\[4pt] -13x_{1}+26x_{2}-26x_{3}=117,\\[4pt] 13x_{1}-26x_{2}+39x_{3}=-156. \end{cases}
Divido cada equação por (13] (para ficar mais simples):
\begin{cases} x_{1}-x_{2}+x_{3}=-4,\\[4pt] x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=-9,\\[4pt] x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=-12. \end{cases}
Agora faço operações lineares simples para isolar x_{3}.
  • Subtraindo a segunda equação da terceira: (x_{1}-2x_{2}+3x_{3})-(x_{1}-2x_{2}+2x_{3}) = -12 - (-9).Isso dá x_{3} = -3.
Portanto já temos o que a questão pergunta: x_{3}=-3.
Para fechar o raciocínio e ver que tudo é consistente (opcional, mas didático), podemos determinar também x_{2} e x_{1}:
  • Use a primeira equação x_{1}-x_{2}+x_{3}=-4 com x_{3}=-3: x_{1}-x_{2}-3=-4\Rightarrow x_{1}-x_{2}=-1.
  • Use a segunda equação x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=-9 com x_{3}=-3: x_{1}-2x_{2}-6=-9\Rightarrow x_{1}-2x_{2}=-3.
  • Subtraindo (segunda relação) de (primeira relação): (x_{1}-x_{2})-(x_{1}-2x_{2}) = -1 - (-3)\Rightarrow x_{2}=2.
  • Então x_{1}= -1 + x_{2} = -1 + 2 = 1.
A solução de mínimos quadrados é \hat{\vec{x}}=(1,\,2,\,-3)^{T} e, em particular, x_{3}=-3.]

Resposta

(B) -3

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