Q2-Considere a uma corrente de ar seco a 90^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm escoando com uma velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} normal a um tubo de Naftaleno com 5,0 \mathrm{~cm} de diâmetro. Sabendo que o tubo mede 1,5 \mathrm{~m} de comprimento, determine sua taxa mássica ( \mathrm{kg} / \mathrm{s} ) de sublimação.

Passo 1

O enunciado pede a taxa mássica de sublimação (em \mathrm{kg/s}) de um tubo de naftaleno exposto a uma corrente de ar seco. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Temperatura do ar: }90^\circ\mathrm{C} \;(\text{ou } T=363\\ \mathrm{K})\\\ &\text{Pressão: }1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}\\\ &\text{Velocidade do ar: }U=5\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{direção normal ao tubo})\\\ &\text{Diâmetro do tubo: }d=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Comprimento do tubo: }L=1{,}5\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Ar seco (isto é, concentração do vapor no escoamento distante é }0\text{)}\\\ &\text{Pede-se: }\dot{m}\\ (\mathrm{kg/s})\\ \text{de sublimação do naftaleno.} \end{aligned}ãçãâéçãéçã

Passo 2

Estratégia física e equação básica (sem resolver ainda): a sublimação gera vapor na superfície do tubo; este vapor é removido pelo escoamento de ar. A taxa mássica total é a integral do fluxo mássico por unidade de área sobre a superfície lateral do cilindro:
\dot{m}=j_m \, A
onde j_m é o fluxo mássico por unidade de área \left(\mathrm{kg/(m^2\cdot s)}\right) e A é a área lateral do cilindro. Usamos o modelo de filme convectivo linear:
j_m = k_c\,(c_s-c_\infty),
onde k_c é o coeficiente de transferência de massa (m/s), c_s é a concentração de vapor (kg/m^3) saturada na superfície e c_\infty é a concentração distante (aqui 0 porque o ar está seco). Portanto precisamos de:
  1. calcular k_c (pela correlação adimensional via número de Sherwood),
  2. obter c_s a partir da pressão de vapor saturado do naftaleno à temperatura dada, e
  3. calcular a área lateral A.
Vou agora explicar e aplicar cada passo com calma.

Passo 3

Cálculo da área lateral do cilindro (fácil e direto). A área lateral é:
A = \pi d L.
Substituindo números:
A = \pi \cdot 0{,}05\cdot 1{,}5 = \pi\cdot 0{,}075 = 0{,}23562\\ \mathrm{m^2}.
(Guardei A para usar no final.)

Passo 4

Cálculo das propriedades do ar e números adimensionais necessários.
  1. Densidade do ar pela equação dos gases ideais:
\rho = \frac{P}{R_{\text{ar}} T},
onde R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T=363\\ \mathrm{K}. Logo
\rho=\frac{101325}{287\cdot 363}=0{,}973\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Viscosidade dinâmica do ar \mu. Vou usar um valor típico razoável para ar a 90^\circ\mathrm{C}:
\mu \approx 2{,}15\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
(Usei uma estimativa baseada na variação conhecida da viscosidade do ar com a temperatura; este valor é compatível com a tabela de propriedades do ar.)
  1. Difusividade molecular do vapor de naftaleno no ar, D_{AB}. Para vapores orgânicos em ar a pressões e temperaturas próximas, um valor típico é da ordem de 10^{-5} a 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Vou assumir
D_{AB}=8{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},
um valor típico plausível (explico depois como a resposta depende dessa escolha).
  1. Agora calculamos o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho U d}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{0{,}973\cdot 5\cdot 0{,}05}{2{,}15\times 10^{-5}}=1{,}13\times 10^{4}.
  1. Número de Schmidt:
\mathrm{Sc}=\frac{\mu}{\rho D_{AB}}=\frac{2{,}15\times 10^{-5}}{0{,}973\cdot 8{,}0\times 10^{-6}}=2{,}76.
Comentário didático rápido:
  • \mathrm{Re} mede a razão entre forças de inércia e viscosas; indica se o escoamento é laminar ou turbulento em torno do cilindro. Aqui \mathrm{Re}\sim 1{,}1\times10^4 é condição de regime de peixeado (transição para vortex shedding), então correlações empíricas são apropriadas.
  • \mathrm{Sc} é a razão entre viscosidade e diffusividade; valores da ordem de 1–10 são comuns para gases.

Passo 5

Como calcular k_c: correlação Sherwood para fluxo transversal sobre cilindro longo.
Explicando o que é Sherwood: o número de Sherwood \mathrm{Sh} é análogo ao Nusselt e relaciona transporte convectivo e difusivo:
\mathrm{Sh}=\frac{k_c d}{D_{AB}}.
Existem várias correlações empíricas. Uma forma simples e amplamente utilizada (Churchill–Bernstein simplificada) é
\mathrm{Sh}=0{,}3 + 0{,}62\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.
(Esta correlação dá resultados razoáveis para uma faixa ampla de \mathrm{Re} e é prática para exercícios de prova; se tiveres uma tabela mais precisa, podes usá‑la — o procedimento é o mesmo.)
Aplicando:
\mathrm{Re}^{1/2}=(1{,}13\times 10^4)^{1/2}=106{,}4,
\mathrm{Sc}^{1/3}=(2{,}76)^{1/3}=1{,}404.
Logo
\mathrm{Sh}=0{,}3+0{,}62\cdot 106{,}4\cdot 1{,}404=92{,}90.
Agora k_c:
k_c=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{d}=\frac{92{,}90\cdot 8{,}0\times10^{-6}}{0{,}05}=0{,}01486\\ \mathrm{m/s}.
Breve interpretação: k_c tem dimensão de velocidade — ele representa a taxa com que a concentração na superfície é removida pela convecção/difusão.

Passo 6

Determinar c_s, a concentração saturada de vapor de naftaleno na superfície. Relação entre pressão de vapor saturado p_{\text{sat}} e concentração (kg/m^3):
c_s = \frac{p_{\text{sat}}\,M}{R_u\,T},
onde M é a massa molar do naftaleno e R_u=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. A massa molar do naftaleno é
M=128{,}17\\ \mathrm{g/mol}=0{,}12817\\ \mathrm{kg/mol}.
Agora precisamos de p_{\text{sat}} do naftaleno a 90^\circ\mathrm{C}. Observação prática: o enunciado não deu p_{\text{sat}}, então precisamos usá‑lo a partir de dados/Antoine ou de tabela. Em muitas situações de prova é permitido assumir ou consultar uma tabela; aqui vou usar uma estimativa plausível e explícita: para naftaleno sólido a 90^\circ\mathrm{C}, um valor típico de pressão de vapor é da ordem de algumas centenas de pascals. Vou assumir, de forma explicitada:
p_{\text{sat}} \approx 300\\ \mathrm{Pa}.
(Se na tua tabela da prova tiveres outro valor mais preciso, substitui-o diretamente na fórmula; o restante do procedimento permanece igual — vou comentar no final como a resposta escala com p_{\text{sat}}.)
Computando c_s:
c_s=\frac{300\cdot 0{,}12817}{8{,}314\cdot 363}=0{,}01274\\ \mathrm{kg/m^3}.
Lembrete didático: assumimos aqui que o naftaleno na superfície está em equilíbrio com o vapor — portanto a pressão parcial do naftaleno na superfície vale a pressão de vapor saturado à temperatura local.

Passo 7

Fluxo mássico por unidade de área e taxa total de sublimação.
Como o ar está seco, c_\infty=0. Então
j_m = k_c\,(c_s-c_\infty)=k_c\,c_s.
Substituindo números:
j_m = 0{,}01486\cdot 0{,}01274 = 1{,}893\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}.
A taxa mássica total:
\dot{m} = j_m \, A = 1{,}893\times 10^{-4}\cdot 0{,}23562 = 4{,}459\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Interpretação, sensibilidade e encorajamento:
  • A resposta obtida é \dot{m}\approx 4{,}46\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Importante: a maior incerteza aqui vem de duas estimativas: (i) a difusividade D_{AB} e (ii) a pressão de vapor saturado p_{\text{sat}}. A \dot{m} é diretamente proporcional a p_{\text{sat}} (porque c_s\propto p_{\text{sat}}), e k_c depende fracionariamente de D_{AB} (via \mathrm{Sh} e factor D_{AB}). Se tiveres uma tabela ou equação de Antoine para o naftaleno na prova, substitui p_{\text{sat}} e recalcule facilmente usando os mesmos passos.
  • Ótimo trabalho até aqui — a sequência que usei é a que normalmente se pede na prova: calcular números adimensionais, obter \mathrm{Sh}, converter para k_c, obter c_s e multiplicar pela área.

Resposta

4{,}46\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}

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