Q2. Identidade vetorial na mão (componentes). Prove em coordenadas cartesianas, termo a termo, que
escrevendo explicitamente as derivadas parciais em
. Em seguida, aplique o resultado a
calculando
e
para verificar a identidade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Provar, escrevendo termo a termo em coordenadas cartesianas, que
- Aplicar esse resultado ao escalar
calculando explicitamente
e
e verificar que a identidade se mantém.
As informações dadas que usarei:
é uma função escalar suficientemente suave (possui derivadas parciais até segunda ordem), e
são constantes.
Passo 2
Primeiro, vou escrever as definições em coordenadas cartesianas e explicar o que cada símbolo significa:
- O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais de primeira ordem:
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
fixos, e analogamente para as outras componentes.
- O divergente de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas coordenadas:
- O Laplaciano de
é o divergente do gradiente de , isto é, a soma das segundas derivadas parciais:
Passo 3
Escrevo agora
componente a componente, usando a definição do gradiente:
Isto é apenas multiplicar por
cada componente do gradiente.
Passo 4
Calculo o divergente de
termo a termo, aplicando a definição de divergente à componente acima:
Como a derivada parcial é linear, o sinal negativo sai de cada derivada:
Agrupando os termos, reconheço a definição do Laplaciano:
Portanto a identidade foi provada termo a termo em coordenadas cartesianas.
Passo 5
Agora aplico ao caso concreto
. Primeiro calculo as derivadas de primeira ordem:
pois
são constantes e a derivada de
é
, etc.
Assim
Passo 6
Calculo o Laplaciano de
(soma das segundas derivadas parciais):
Logo
Portanto
Passo 7
Verifico que a divergente de
calculada no passo 5 coincide com
acima. Tomando
e aplicando divergente:
que é exatamente
do passo anterior. Logo a identidade se verifica para essa
.
Resposta
Para