Q2. Identidade vetorial na mão (componentes). Prove em coordenadas cartesianas, termo a termo, que
\nabla \cdot(-\nabla \Phi)=-\nabla^{2} \Phi
escrevendo explicitamente as derivadas parciais em x, y, z. Em seguida, aplique o resultado a
\Phi(x, y, z)=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}
calculando -\nabla \Phi e -\nabla^{2} \Phi para verificar a identidade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Provar, escrevendo termo a termo em coordenadas cartesianas, que
\nabla\cdot\bigl(-\nabla\Phi\bigr)=-\nabla^{2}\Phi.
  • Aplicar esse resultado ao escalar
\Phi(x,y,z)=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2},
calculando explicitamente -\nabla\Phi e -\nabla^{2}\Phi e verificar que a identidade se mantém.
As informações dadas que usarei: \Phi é uma função escalar suficientemente suave (possui derivadas parciais até segunda ordem), e A,B,C são constantes.

Passo 2

Primeiro, vou escrever as definições em coordenadas cartesianas e explicar o que cada símbolo significa:
  • O gradiente de \Phi é o vetor das derivadas parciais de primeira ordem:
\nabla\Phi=\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x},\;\frac{\partial\Phi}{\partial y},\;\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right).
Aqui \partial\Phi/\partial x significa a derivada parcial de \Phi em relação a x, mantendo y,z fixos, e analogamente para as outras componentes.
  • O divergente de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas coordenadas:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
  • O Laplaciano de \Phi é o divergente do gradiente de \Phi, isto é, a soma das segundas derivadas parciais:
\nabla^{2}\Phi=\nabla\cdot(\nabla\Phi)=\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}}.

Passo 3

Escrevo agora -\nabla\Phi componente a componente, usando a definição do gradiente:
-\nabla\Phi=\left(-\frac{\partial\Phi}{\partial x},\; -\frac{\partial\Phi}{\partial y},\; -\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right).
Isto é apenas multiplicar por -1 cada componente do gradiente.

Passo 4

Calculo o divergente de -\nabla\Phi termo a termo, aplicando a definição de divergente à componente acima:
\nabla\cdot\bigl(-\nabla\Phi\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(-\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right).
Como a derivada parcial é linear, o sinal negativo sai de cada derivada:
\nabla\cdot\bigl(-\nabla\Phi\bigr) =-\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}} -\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}} -\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}}.
Agrupando os termos, reconheço a definição do Laplaciano:
\nabla\cdot\bigl(-\nabla\Phi\bigr)=-\left(\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}}\right) =-\nabla^{2}\Phi.
Portanto a identidade foi provada termo a termo em coordenadas cartesianas.

Passo 5

Agora aplico ao caso concreto \Phi(x,y,z)=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}. Primeiro calculo as derivadas de primeira ordem:
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=2A x,\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=2B y,\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial z}=2C z,
pois A,B,C são constantes e a derivada de x^{2} é 2x, etc.
Assim
-\nabla\Phi=\left(-2A x,\;-2B y,\;-2C z\right).

Passo 6

Calculo o Laplaciano de \Phi (soma das segundas derivadas parciais):
\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}(2A x)=2A, \qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}}=2B, \qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}}=2C.
Logo
\nabla^{2}\Phi=2A+2B+2C=2(A+B+C).
Portanto
-\nabla^{2}\Phi=-2(A+B+C).

Passo 7

Verifico que a divergente de -\nabla\Phi calculada no passo 5 coincide com -\nabla^{2}\Phi acima. Tomando -\nabla\Phi=(-2Ax,-2By,-2Cz) e aplicando divergente:
\nabla\cdot\bigl(-\nabla\Phi\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}(-2A x)+\frac{\partial}{\partial y}(-2B y)+\frac{\partial}{\partial z}(-2C z) =-2A-2B-2C=-2(A+B+C),
que é exatamente -\nabla^{2}\Phi do passo anterior. Logo a identidade se verifica para essa \Phi.

Resposta

\nabla\cdot(-\nabla\Phi)=-\nabla^{2}\Phi\newline
Para \Phi(x,y,z)=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}:
-\nabla\Phi=\bigl(-2A x,\,-2B y,\,-2C z\bigr)\newline
-\nabla^{2}\Phi=-2\bigl(A+B+C\bigr)

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