Q1. De Gauss a Poisson (dedução integral → diferencial). Partindo da forma integral da Lei de Gauss para a gravitação
use o Teorema da Divergência e a definição
para deduzir, passo a passo, a forma local
Indique claramente onde você usa (i) o teorema da divergência e (ii) a identidade entre divergente do gradiente e o Laplaciano.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma integral da Lei de Gauss para a gravitação:
e a definição do campo gravitacional em termos do potencial:
O objetivo é deduzir a forma local (diferencial) conhecida como equação de Poisson:
Informações/variáveis fornecidas:
-
é o campo gravitacional (vetor). -
é o potencial gravitacional (escalar). -
é a densidade de massa (escalar, função de posição). -
é a constante gravitacional. -
é a superfície fechada que limita o volume . -
é o vetor área orientado para fora da superfície .
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar: o Teorema da Divergência. Ele diz, para um campo vetorial suficientemente suave
,
Aqui:
é a divergência de
;
é o elemento de área orientado para fora.
Marcação pedida: nesta etapa estabelecemos o uso do teorema da divergência — isto será (i). Vou aplicá‑lo explicitamente no próximo passo.
Marcação pedida: nesta etapa estabelecemos o uso do teorema da divergência — isto será (i). Vou aplicá‑lo explicitamente no próximo passo.
Passo 3
Aplicar o Teorema da Divergência (i) ao lado esquerdo da lei de Gauss, com
. Assim
Substituindo isso na expressão integral dada no enunciado obtemos
Passo 4
Usar a definição
. Calcular a divergência de
:
Agora usamos a identidade que liga divergente do gradiente ao Laplaciano: para qualquer escalar suficientemente suave
,
Esta é a identidade pedida — marcação (ii). Portanto
Passo 5
Substituir
na igualdade integral do Passo 3:
Multiplicando ambos os lados por
obtém‑se
Passo 6
Argumento para passar da igualdade integral à igualdade pontual (local): a igualdade
vale para qualquer volume
arbitrário (suficientemente pequeno) contido na região onde as funções são regulares. Se a integral de uma função
sobre todo volume arbitrário é zero, então
em todos os pontos (sob hipóteses usuais de regularidade — continuidade ou integrabilidade local). Aplicando isso aqui, concluímos que o integrando deve ser nulo ponto a ponto:
para todo
na região considerada.
Passo 7
Reescrevendo a igualdade obtida no Passo 6, chegamos à forma local (equação de Poisson):
Recordando onde usamos os itens pedidos:
- (i) O Teorema da Divergência foi usado no Passo 3 para trocar a integral de superfície por integral de volume:
. - (ii) A identidade
foi usada no Passo 4 para transformar em .
Pequena observação final de conforto: a passagem da forma integral para a forma diferencial é rotineira em física — é a mesma ideia usada na passagem da Lei de Gauss eletrostática para a equação de Poisson eletrostática — e exige apenas que as funções sejam suaves o bastante para aplicar o teorema da divergência e para que a conclusão local seja válida. Força aí — a lógica é direta e muito útil na prova!
Resposta
\nabla^{2}\Phi=4\pi G \rho