Q1. De Gauss a Poisson (dedução integral → diferencial). Partindo da forma integral da Lei de Gauss para a gravitação
\oint_{S} \mathbf{g} \cdot d \mathbf{A}=-4 \pi G \int_{V} \rho d V
use o Teorema da Divergência e a definição \mathbf{g}=-\nabla \Phi para deduzir, passo a passo, a forma local
\nabla^{2} \Phi=4 \pi G \rho
Indique claramente onde você usa (i) o teorema da divergência e (ii) a identidade entre divergente do gradiente e o Laplaciano.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma integral da Lei de Gauss para a gravitação:
\oint_{S} \mathbf{g} \cdot d \mathbf{A}=-4 \pi G \int_{V} \rho\, d V
e a definição do campo gravitacional em termos do potencial:
\mathbf{g}=-\nabla \Phi.
O objetivo é deduzir a forma local (diferencial) conhecida como equação de Poisson:
\nabla^{2}\Phi=4\pi G \rho.
Informações/variáveis fornecidas:
  • \mathbf{g} é o campo gravitacional (vetor).
  • \Phi é o potencial gravitacional (escalar).
  • \rho é a densidade de massa (escalar, função de posição).
  • G é a constante gravitacional.
  • S é a superfície fechada que limita o volume V.
  • d\mathbf{A} é o vetor área orientado para fora da superfície S.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar: o Teorema da Divergência. Ele diz, para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F},
\oint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\, dV.
Aqui: \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}; d\mathbf{A} é o elemento de área orientado para fora.
Marcação pedida: nesta etapa estabelecemos o uso do teorema da divergência — isto será (i). Vou aplicá‑lo explicitamente no próximo passo.

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência (i) ao lado esquerdo da lei de Gauss, com \mathbf{F}=\mathbf{g}. Assim
\oint_{S} \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{g}\, dV.
Substituindo isso na expressão integral dada no enunciado obtemos
\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{g}\, dV = -4\pi G \int_{V} \rho\, dV.

Passo 4

Usar a definição \mathbf{g}=-\nabla\Phi. Calcular a divergência de \mathbf{g}:
\nabla\cdot\mathbf{g}=\nabla\cdot(-\nabla\Phi)=-\nabla\cdot(\nabla\Phi).
Agora usamos a identidade que liga divergente do gradiente ao Laplaciano: para qualquer escalar suficientemente suave \Phi,
\nabla\cdot(\nabla\Phi)=\nabla^{2}\Phi.
Esta é a identidade pedida — marcação (ii). Portanto
\nabla\cdot\mathbf{g}=-\nabla^{2}\Phi.

Passo 5

Substituir \nabla\cdot\mathbf{g}=-\nabla^{2}\Phi na igualdade integral do Passo 3:
\int_{V} \bigl(-\nabla^{2}\Phi\bigr)\, dV = -4\pi G \int_{V} \rho\, dV.
Multiplicando ambos os lados por -1 obtém‑se
\int_{V} \nabla^{2}\Phi\, dV = 4\pi G \int_{V} \rho\, dV.

Passo 6

Argumento para passar da igualdade integral à igualdade pontual (local): a igualdade
\int_{V} \bigl(\nabla^{2}\Phi - 4\pi G \rho\bigr)\, dV = 0
vale para qualquer volume V arbitrário (suficientemente pequeno) contido na região onde as funções são regulares. Se a integral de uma função f(\mathbf{r}) sobre todo volume arbitrário é zero, então f(\mathbf{r})=0 em todos os pontos (sob hipóteses usuais de regularidade — continuidade ou integrabilidade local). Aplicando isso aqui, concluímos que o integrando deve ser nulo ponto a ponto:
\nabla^{2}\Phi(\mathbf{r}) - 4\pi G \rho(\mathbf{r})=0
para todo \mathbf{r} na região considerada.

Passo 7

Reescrevendo a igualdade obtida no Passo 6, chegamos à forma local (equação de Poisson):
\boxed{\nabla^{2}\Phi=4\pi G \rho.}
Recordando onde usamos os itens pedidos:
  • (i) O Teorema da Divergência foi usado no Passo 3 para trocar a integral de superfície por integral de volume: \oint_{S}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{g}\,dV.
  • (ii) A identidade \nabla\cdot(\nabla\Phi)=\nabla^{2}\Phi foi usada no Passo 4 para transformar \nabla\cdot\mathbf{g}=\nabla\cdot(-\nabla\Phi) em -\nabla^{2}\Phi.
Pequena observação final de conforto: a passagem da forma integral para a forma diferencial é rotineira em física — é a mesma ideia usada na passagem da Lei de Gauss eletrostática para a equação de Poisson eletrostática — e exige apenas que as funções sejam suaves o bastante para aplicar o teorema da divergência e para que a conclusão local seja válida. Força aí — a lógica é direta e muito útil na prova!

Resposta

\nabla^{2}\Phi=4\pi G \rho

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