Q7. Potencial de uma massa pontual (revisão). Resolva \nabla^{2} \varphi=4 \pi G M \delta^{(3)}(\mathbf{r}) fora da origem ( r>0 ), imponha \varphi(\infty)=0 e recupere \varphi(r)=-G M / r. Mostre que \mathbf{g}=-\boldsymbol{\nabla} \varphi bate com o resultado da Q1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Poisson para o potencial gravitacional de uma massa pontual:
\nabla^{2}\varphi = 4\pi G M \,\delta^{(3)}(\mathbf{r}).
As informações e pedidos são:
  • A equação vale em todo o espaço, mas a fonte (a delta de Dirac) está concentrada na origem \mathbf{r}=\mathbf{0}. Queremos resolver a equação fora da origem, isto é para r>0, onde r=\|\mathbf{r}\|.
  • Condição de contorno: \varphi(\infty)=0.
  • Recuperar explicitamente \varphi(r)=-G M / r.
  • Mostrar que o campo gravitacional definido por \mathbf{g}=-\nabla\varphi coincide com o resultado esperado da Q1 (isto é, com o campo de uma massa pontual, que tem módulo GM/r^{2} e direção radial para dentro).
Dados e notação:
  • \varphi(\mathbf{r}) é o potencial gravitacional (escalar).
  • G é a constante gravitacional e M é a massa pontual situada na origem.
  • \delta^{(3)}(\mathbf{r}) é a delta de Dirac em três dimensões, concentrada na origem.
  • \hat{\mathbf r}=\mathbf{r}/r é o versor radial.

Passo 2

Observação inicial sobre o lado esquerdo da equação para r>0.
A delta está localizada somente na origem, então para qualquer ponto fora da origem temos
\delta^{(3)}(\mathbf{r})=0 \quad\text{quando } r>0.
Logo, para r>0 a equação de Poisson reduz-se à equação de Laplace homogênea:
\nabla^{2}\varphi = 0 \quad\text{para } r>0.
Isso significa que, fora da origem, \varphi é uma função harmônica e podemos procurar soluções radiais (dependendo só de r) devido à simetria esférica do problema.

Passo 3

Fórmula do Laplaciano para funções radiais e redução a uma ODE.
Se \varphi depende apenas de r, então o Laplaciano em coordenadas esféricas simplifica-se para a forma
\nabla^{2}\varphi(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d\varphi}{dr}\right).
Explicando essa fórmula: o operador \nabla^{2} soma as derivadas segundas nas direções, mas para uma função que só varia radialmente essa expressão vale e é muito prática. Aqui \dfrac{d\varphi}{dr} é a derivada ordinária de \varphi em relação a r.
Como \nabla^{2}\varphi=0 para r>0, obtemos a equação diferencial ordinária
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d\varphi}{dr}\right)=0 \quad\text{para } r>0.

Passo 4

Resolver a ODE passo a passo.
Multiplicando por r^{2} e integrando uma vez:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d\varphi}{dr}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\frac{d\varphi}{dr}=A,
onde A é uma constante de integração (ainda desconhecida).
Agora isolamos a derivada primeira e integramos de novo:
\frac{d\varphi}{dr}=\frac{A}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(r)=\!-\frac{A}{r}+B,
onde B é outra constante de integração. Portanto, a solução geral radial para r>0 é
\varphi(r)=-\frac{A}{r}+B.
Interpretando os termos: -A/r é a parte singular típica de um potencial de ponto; B é um potencial constante.

Passo 5

Aplicar a condição de contorno no infinito.
A condição do enunciado é \varphi(\infty)=0. Tomando r\to\infty na expressão \varphi(r)=-A/r+B
\varphi(\infty)=B=0.
Portanto B=0 e a forma reduzida é
\varphi(r)=-\frac{A}{r}\quad\text{para }r>0.
Ainda precisamos determinar o valor da constante A. Para isso usamos a equação original com a delta na origem (não podemos determinar A apenas a partir da equação homogênea válida fora da origem).

Passo 6

Determinar A usando a equação original integrada sobre uma pequena esfera que contém a origem.
Pegue uma esfera de raio \varepsilon centrada na origem (com \varepsilon>0 pequeno) e integre a equação de Poisson em todo o volume dessa esfera V_\varepsilon:
\int_{V_\varepsilon}\nabla^{2}\varphi\,dV = \int_{V_\varepsilon}4\pi G M\,\delta^{(3)}(\mathbf{r})\,dV.
No lado direito, pela propriedade da delta:
\int_{V_\varepsilon}\delta^{(3)}(\mathbf{r})\,dV = 1,
desde que a esfera inclua a origem. Assim o lado direito vale 4\pi G M.
No lado esquerdo aplicamos o teorema da divergência (Gauss): \int_{V}\nabla\cdot(\nabla\varphi)\,dV=\oint_{S}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{S}, onde S é a superfície da esfera de raio \varepsilon. Como \nabla\varphi=\dfrac{d\varphi}{dr}\,\hat{\mathbf r}, o fluxo através da superfície é
\oint_{S}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{S} = \oint_{S}\frac{d\varphi}{dr}\,\hat{\mathbf r}\cdot(\hat{\mathbf r}\,\varepsilon^{2}d\Omega) = \varepsilon^{2}\frac{d\varphi}{dr}\bigg|_{r=\varepsilon}\int_{S}d\Omega,
onde d\Omega é o elemento sólido e \int_{S}d\Omega=4\pi. Portanto
\int_{V_\varepsilon}\nabla^{2}\varphi\,dV = 4\pi\,\varepsilon^{2}\frac{d\varphi}{dr}\bigg|_{r=\varepsilon}.
Agora use a forma \varphi(r)=-A/r (válida para r>0) para calcular a derivada:
\frac{d\varphi}{dr} = \frac{A}{r^{2}}.
Substituindo no fluxo em r=\varepsilon
\int_{V_\varepsilon}\nabla^{2}\varphi\,dV = 4\pi\,\varepsilon^{2}\cdot\frac{A}{\varepsilon^{2}} = 4\pi A.
Igualando aos 4\pi G M do lado direito obtemos
4\pi A = 4\pi G M \quad\Longrightarrow\quad A = G M.

Passo 7

Concluir para o potencial e interpretar resultados.
Com A=G M e B=0 temos, para r>0,
\varphi(r) = -\frac{G M}{r}.
Isso recupera exatamente a forma esperada do potencial gravitacional de uma massa pontual com a condição \varphi(\infty)=0.
Breve comentário sobre a singularidade: o potencial diverge em r\to0, e isso é consistente porque a massa está concentrada na origem; a equação padrão com a delta garante que toda a curvatura de \varphi (o Laplaciano) está concentrada aí.

Passo 8

Calcular o campo gravitacional \mathbf{g}=-\nabla\varphi e comparar com Q1.
Como \varphi depende apenas de r, o gradiente é
\nabla\varphi = \frac{d\varphi}{dr}\,\hat{\mathbf r}.
Usando \varphi(r)=-GM/r obtemos
\frac{d\varphi}{dr} = \frac{GM}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \nabla\varphi = \frac{GM}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
Portanto o campo gravitacional, definido por \mathbf{g}=-\nabla\varphi, é
\mathbf{g} = -\frac{GM}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r}.
Este vetor aponta radialmente para dentro (sinal negativo) e tem módulo \dfrac{GM}{r^{2}}. Isso coincide exatamente com o resultado clássico para o campo gravitacional de uma massa pontual (o que a Q1 apresentou): mesma direção (radial), mesmo sentido (para o centro) e mesmo módulo.

Resposta

\varphi(r)=-\dfrac{GM}{r}
\mathbf{g}=-\dfrac{GM}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r}

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