- (Q4-ITA/2004) Considere a função
. Então,
, o valor do produto
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se o valor do produto
para quaisquer
e pede que se escolha a alternativa correta entre:
a)
b)
c) (escrito no enunciado como
)
d)
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Primeiro, fatorar
em
para simplificar a visualização:
Portanto o produto é
Passo 3
Agora expandir o produto dentro dos parênteses, multiplicando termo a termo e lembrando que
:
Passo 4
Agora usar as fórmulas de adição de ângulo (identidades trigonométricas fundamentais):
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
Passo 5
Voltando ao produto com o fator
do passo 2:
Mas
. Portanto
Passo 6
Observação rápida (útil para a prova): também dava para reconhecer
(fórmula de Euler), então
e
. As duas maneiras levam ao mesmo resultado.
Resposta
b)