1. (Q4-ITA/2004) Considere a função f: R \rightarrow C, f(x)= 2 \cos x+2 i \operatorname{sen} x. Então, \forall x, y \in R, o valor do produto f(x) \cdot f(y) é igual a:
    a) f(x+y)
    b) 2 f(x+y)
    c) 4 \operatorname{if}(x+y)
    d) f(x y)
    e) 2 \mathrm{f}(\mathrm{x})+2 \mathrm{if}(\mathrm{y})

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} definida por
f(x)=2\cos x + 2i\sin x.
Pede-se o valor do produto f(x)\cdot f(y) para quaisquer x,y\in\mathbb{R} e pede que se escolha a alternativa correta entre:
a) f(x+y)
b) 2 f(x+y)
c) 4 i f(x+y) (escrito no enunciado como 4\operatorname{if}(x+y))
d) f(xy)
e) 2 f(x)+2 i f(y).

Passo 2

Primeiro, fatorar 2 em f(x) para simplificar a visualização:
f(x)=2\big(\cos x + i\sin x\big).
Portanto o produto é
f(x)\,f(y)=\;2\big(\cos x + i\sin x\big)\;2\big(\cos y + i\sin y\big)=4\big(\cos x + i\sin x\big)\big(\cos y + i\sin y\big).

Passo 3

Agora expandir o produto dentro dos parênteses, multiplicando termo a termo e lembrando que i^2=-1:
\begin{aligned} \big(\cos x + i\sin x\big)\big(\cos y + i\sin y\big) &= \cos x\cos y + i\cos x\sin y + i\sin x\cos y + i^2\sin x\sin y\\\ &= \cos x\cos y - \sin x\sin y + i\big(\cos x\sin y + \sin x\cos y\big). \end{aligned}

Passo 4

Agora usar as fórmulas de adição de ângulo (identidades trigonométricas fundamentais):
\cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x\sin y,
\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x\sin y.
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
\big(\cos x + i\sin x\big)\big(\cos y + i\sin y\big)=\cos(x+y) + i\sin(x+y).

Passo 5

Voltando ao produto com o fator 4 do passo 2:
f(x)\,f(y)=4\big(\cos(x+y) + i\sin(x+y)\big).
Mas f(x+y)=2\big(\cos(x+y)+i\sin(x+y)\big). Portanto
f(x)\,f(y)=4\big(\cos(x+y)+i\sin(x+y)\big)=2\cdot\big[2(\cos(x+y)+i\sin(x+y))\big]=2\,f(x+y).

Passo 6

Observação rápida (útil para a prova): também dava para reconhecer \cos x+i\sin x=e^{ix} (fórmula de Euler), então f(x)=2e^{ix} e f(x)f(y)=4e^{i(x+y)}=2f(x+y). As duas maneiras levam ao mesmo resultado.

Resposta

b) 2\,f(x+y)

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