(Q2-ITA/1987) Considere
a função inversa da seguinte função:
, para cada número real
Nestas condições, a função
é assim definida:
a)
, para cada
b)
, para cada
c)
, para cada
d)
, para cada
e)
, para cada
Nestas condições, a função
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida somente para os números reais
. Pede-se a função inversa
dessa função, ou seja, a expressão de
em função de
quando
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A fórmula dada é
. - A restrição no domínio é
. - Deve-se encontrar
tal que para no domínio dado, ou equivalentemente resolver para e escolher a solução compatível com . - As alternativas apontam várias possíveis expressões para
com diferentes domínios em .
Passo 2
Verificar se a função
é invertível no domínio
.
Uma forma simples: calcular a derivada de :
Uma forma simples: calcular a derivada de
Para
temos
. Como a derivada é não negativa e só é zero em
, a função é estritamente crescente em
. Logo, nessa restrição de domínio
é injetora e portanto tem inversa definida sobre a sua imagem (o conjunto de valores
atingidos). Isso garante que podemos resolver para
e escolher a única raiz compatível com
.
Passo 3
Determinar a imagem (intervalo de valores de
) de
para
. Uma maneira direta é completar o quadrado na expressão de
:
Da expressão acima, como
para todo
, obtemos que o menor valor possível de
ocorre em
e vale
Portanto a imagem de
no domínio dado é
. Isso também indica que a inversa
terá domínio
.
Passo 4
Agora resolver explicitamente
para
. Partindo da forma quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), onde para uma equação
as raízes são
, aqui
,
,
. Assim:
Simplificando o discriminante:
Portanto
Passo 5
Simplificar a raiz e escrever a solução de forma mais transparente. Note que para
temos
, então
é real. Podemos reescrever
portanto
Assim existem duas raízes formais:
Passo 6
Escolher a raiz correta observando a restrição do domínio original
. Entre as duas raízes:
-
é sempre maior ou igual a porque o termo com raiz é . -
é sempre menor ou igual a , e para é estritamente menor que . Como o domínio original exige , a única escolha compatível é .
Passo 7
Concluir a expressão da inversa e o seu domínio. A inversa
é, para
,
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)
para cada