(Q2-ITA/1987) Considere \mathrm{x}=\mathrm{g}(\mathrm{y}) a função inversa da seguinte função:
y=f(x)=x^{2}-x+1, para cada número real x \geq \frac{1}{2}
Nestas condições, a função \mathbf{g} é assim definida:
a) \mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{1}{2}+\sqrt{\mathrm{y}-\frac{3}{4}}, para cada \mathrm{y} \geq \frac{3}{4}
b) \mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{1}{2}+\sqrt{\mathrm{y}-\frac{1}{4}}, para cada \mathrm{y} \geq \frac{1}{4}
c) \mathrm{g}(\mathrm{y})=\sqrt{\mathrm{y}-\frac{3}{4}}, para cada \mathrm{y} \geq \frac{3}{4}
d) g(y)=\sqrt{y-\frac{1}{4}}, para cada y \geq \frac{1}{4}
e) g(\mathrm{y})=\frac{3}{4}+\sqrt{\mathrm{y}-\frac{1}{2}}, para cada \mathrm{y} \geq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função y=f(x)=x^{2}-x+1 definida somente para os números reais x\ge \dfrac{1}{2}. Pede-se a função inversa x=g(y) dessa função, ou seja, a expressão de x em função de y quando y=f(x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A fórmula dada é y=f(x)=x^{2}-x+1.
  • A restrição no domínio é x\ge \dfrac{1}{2}.
  • Deve-se encontrar g tal que g(f(x))=x para x no domínio dado, ou equivalentemente resolver y=x^{2}-x+1 para x e escolher a solução compatível com x\ge \dfrac{1}{2}.
  • As alternativas apontam várias possíveis expressões para g com diferentes domínios em y.

Passo 2

Verificar se a função f é invertível no domínio x\ge \dfrac{1}{2}.
Uma forma simples: calcular a derivada de f:
f'(x)=2x-1.
Para x\ge \dfrac{1}{2} temos f'(x)\ge 0. Como a derivada é não negativa e só é zero em x=\dfrac{1}{2}, a função é estritamente crescente em \left[\dfrac{1}{2},\infty\right). Logo, nessa restrição de domínio f é injetora e portanto tem inversa definida sobre a sua imagem (o conjunto de valores y atingidos). Isso garante que podemos resolver para x e escolher a única raiz compatível com x\ge \dfrac{1}{2}.

Passo 3

Determinar a imagem (intervalo de valores de y) de f para x\ge \dfrac{1}{2}. Uma maneira direta é completar o quadrado na expressão de f:
f(x)=x^{2}-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}.
Da expressão acima, como \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\ge 0 para todo x, obtemos que o menor valor possível de f(x) ocorre em x=\dfrac{1}{2} e vale
f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}.
Portanto a imagem de f no domínio dado é \left[\dfrac{3}{4},\infty\right). Isso também indica que a inversa g terá domínio y\ge \dfrac{3}{4}.

Passo 4

Agora resolver explicitamente y=x^{2}-x+1 para x. Partindo da forma quadrática:
x^{2}-x+(1-y)=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), onde para uma equação ax^{2}+bx+c=0 as raízes são \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, aqui a=1, b=-1, c=1-y. Assim:
x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(1-y)}}{2\cdot1} =\dfrac{1\pm\sqrt{1-4(1-y)}}{2}.
Simplificando o discriminante:
1-4(1-y)=1-4+4y=4y-3.
Portanto
x=\dfrac{1\pm\sqrt{4y-3}}{2}.

Passo 5

Simplificar a raiz e escrever a solução de forma mais transparente. Note que para y\ge \dfrac{3}{4} temos 4y-3\ge 0, então \sqrt{4y-3} é real. Podemos reescrever
\sqrt{4y-3}=2\sqrt{y-\dfrac{3}{4}},
portanto
x=\dfrac{1\pm 2\sqrt{y-\tfrac{3}{4}}}{2}=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{y-\dfrac{3}{4}}.
Assim existem duas raízes formais:
x_{1}=\dfrac{1}{2}+\sqrt{y-\dfrac{3}{4}},\qquad x_{2}=\dfrac{1}{2}-\sqrt{y-\dfrac{3}{4}}.

Passo 6

Escolher a raiz correta observando a restrição do domínio original x\ge \dfrac{1}{2}. Entre as duas raízes:
  • x_{1}=\dfrac{1}{2}+\sqrt{y-\tfrac{3}{4}} é sempre maior ou igual a \dfrac{1}{2} porque o termo com raiz é \ge 0.
  • x_{2}=\dfrac{1}{2}-\sqrt{y-\tfrac{3}{4}} é sempre menor ou igual a \dfrac{1}{2}, e para y>\dfrac{3}{4} é estritamente menor que \dfrac{1}{2}. Como o domínio original exige x\ge \dfrac{1}{2}, a única escolha compatível é x_{1}.

Passo 7

Concluir a expressão da inversa e o seu domínio. A inversa g é, para y\ge \dfrac{3}{4},
\mathrm{g}(y)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{y-\dfrac{3}{4}}.
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) \mathrm{g}(y)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{y-\dfrac{3}{4}}, para cada y\ge \dfrac{3}{4}

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