- (Q17-ITA/2001) O conjunto de todos os valores de
para os quais a função
está definida e é não-negativa para todo
real é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
tais que a função
esteja definida e seja não-negativa para todo
.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- Numerador:
. - Radicando (denominador antes da raiz):
. - A função deve estar definida para todo
real e satisfazer para todo .
Observações imediatas que vamos usar depois (ainda não resolvo):
- Para
estar definida para todo , é necessário que o radicando seja estritamente positivo para todo (porque tornaria a função indefinida). - Como
em todo , o sinal de é o sinal de . Logo precisamos que para todo .
Passo 2
Lembração importante sobre quadráticas (aquela aula prática):
Considere com
.
Considere
- Se o discriminante
, a quadrática tem duas raízes reais e toma valores negativos entre elas, logo não é para todo . - Se
, a quadrática tem uma raiz dupla e para todo (toca o zero em um ponto). - Se
, não há raízes reais e, com , tem para todo .
Aplicação prática:
- Para garantir
para todo com , basta exigir . - Para garantir
para todo , exigir .
Vamos aplicar isso a
(precisamos de
em todo
) e a
(precisamos de
em todo
).
Passo 3
Calcular o discriminante de
.
Discriminante:
Faço as contas passo a passo:
então
Como queremos
para todo
, pelo passo anterior precisamos de
. Assim
Passo 4
Calcular o discriminante de
.
Discriminante:
Faço as contas:
logo
Como queremos
para todo
, pelo passo 2 precisamos de
. Assim
Passo 5
Combino as duas condições obtidas:
- Do radicando
veio . - Do numerador
veio .
A interseção é
(porque todo
satisfaz também
).
Verificação rápida nas bordas:
- Em
: (numerador toca zero em um ponto, portanto ) e (radicando estritamente positivo). Logo está definida e para todo . - Para qualquer
teremos e então fica negativa em algum intervalo, o que faria nesse intervalo (já que denom ), portanto não serve.
Portanto a condição final é
.