1. (Q17-ITA/2001) O conjunto de todos os valores de \mathbf{m} para os quais a função f(x)=\frac{x^{2}+(2 m+3) x+\left(m^{2}+3\right)}{\sqrt{x^{2}+(2 m+1) x+\left(m^{2}+2\right)}} está definida e é não-negativa para todo \mathbf{x} real é:
    a) \left[\frac{1}{4}, \frac{7}{4}[\right.
    b) ] \frac{1}{4}, \infty[
    c) ] 0, \frac{7}{4}[
    d) \left.]-\infty, \frac{1}{4}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de \,m\, tais que a função
f(x)=\frac{x^{2}+(2 m+3) x+\left(m^{2}+3\right)}{\sqrt{x^{2}+(2 m+1) x+\left(m^{2}+2\right)}}
esteja definida e seja não-negativa para todo x\in\mathbb{R}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Numerador: p(x)=x^{2}+(2m+3)x+(m^{2}+3).
  • Radicando (denominador antes da raiz): g(x)=x^{2}+(2m+1)x+(m^{2}+2).
  • A função deve estar definida para todo x real e satisfazer f(x)\ge 0 para todo x.
Observações imediatas que vamos usar depois (ainda não resolvo):
  • Para f(x) estar definida para todo x, é necessário que o radicando g(x) seja estritamente positivo para todo x (porque \sqrt{g(x)}=0 tornaria a função indefinida).
  • Como \sqrt{g(x)}>0 em todo x, o sinal de f(x) é o sinal de p(x). Logo precisamos que p(x)\ge 0 para todo x.

Passo 2

Lembração importante sobre quadráticas (aquela aula prática):
Considere q(x)=ax^{2}+bx+c com a>0.
  • Se o discriminante \Delta=b^{2}-4ac>0, a quadrática tem duas raízes reais e toma valores negativos entre elas, logo não é \ge0 para todo x.
  • Se \Delta=0, a quadrática tem uma raiz dupla e q(x)\ge0 para todo x (toca o zero em um ponto).
  • Se \Delta<0, não há raízes reais e, com a>0, tem q(x)>0 para todo x.
Aplicação prática:
  • Para garantir q(x)\ge0 para todo x com a=1, basta exigir \Delta\le 0.
  • Para garantir q(x)>0 para todo x, exigir \Delta<0.
Vamos aplicar isso a g(x) (precisamos de >0 em todo x) e a p(x) (precisamos de \ge0 em todo x).

Passo 3

Calcular o discriminante de g(x)=x^{2}+(2m+1)x+(m^{2}+2).
Discriminante:
\Delta_g=(2m+1)^{2}-4\,(m^{2}+2).
Faço as contas passo a passo:
(2m+1)^{2}=4m^{2}+4m+1,
então
\Delta_g=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-8=4m-7.
Como queremos g(x)>0 para todo x, pelo passo anterior precisamos de \Delta_g<0. Assim
4m-7<0 \quad\Longrightarrow\quad m<\frac{7}{4}.

Passo 4

Calcular o discriminante de p(x)=x^{2}+(2m+3)x+(m^{2}+3).
Discriminante:
\Delta_p=(2m+3)^{2}-4\,(m^{2}+3).
Faço as contas:
(2m+3)^{2}=4m^{2}+12m+9,
logo
\Delta_p=4m^{2}+12m+9-4m^{2}-12=12m-3=3(4m-1).
Como queremos p(x)\ge0 para todo x, pelo passo 2 precisamos de \Delta_p\le 0. Assim
12m-3\le0 \quad\Longrightarrow\quad m\le\frac{1}{4}.

Passo 5

Combino as duas condições obtidas:
  • Do radicando g(x) veio m<\tfrac{7}{4}.
  • Do numerador p(x) veio m\le\tfrac{1}{4}.
A interseção é m\le\tfrac{1}{4} (porque todo m\le\tfrac{1}{4} satisfaz também m<\tfrac{7}{4}).
Verificação rápida nas bordas:
  • Em m=\tfrac{1}{4}: \Delta_p=0 (numerador toca zero em um ponto, portanto p(x)\ge0) e \Delta_g=4\cdot\tfrac{1}{4}-7=-6<0 (radicando estritamente positivo). Logo f está definida e f(x)\ge0 para todo x.
  • Para qualquer m>\tfrac{1}{4} teremos \Delta_p>0 e então p(x) fica negativa em algum intervalo, o que faria f(x)<0 nesse intervalo (já que denom >0), portanto não serve.
Portanto a condição final é m\le\tfrac{1}{4}.

Resposta

\left]-\infty, \tfrac{1}{4}\right] (opção d)

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