(Q16-ITA/2001) Considere as funções
,
e
. Se a é tal que
, então
vale:
a) 0
b) 1
c)
d)
a) 0
b) 1
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as funções
e informa que existe
tal que
A pergunta é: qual é o valor de
? As opções são:
a) \quad b)
\quad c)
\quad d)
.
a)
Passo 2
Primeiro vamos escrever expressões úteis envolvendo
e
(em geral, para um mesmo
):
Calculemos ,
e
.
Calculemos
Observe que
é constante (
) independentemente de
, e
depende de
como
. Nosso objetivo é achar
.
Passo 3
Agora vamos usar a informação envolvendo
. Lembrete prático (aqui vou explicar a fórmula que vamos usar):
Para números reais
e
tais que as quantidades estão bem definidas, vale a identidade (fórmula da tangente da soma)
pois
e a fórmula geral
. Também sabemos que
.
Aplicando
à igualdade dada em
:
Pela identidade acima isso dá (desde que
; mais adiante conferimos essa condição):
Passo 4
Substituindo
na equação resultante:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Passo 5
Agora use a expressão de
que obtivemos no Passo 2 para
:
Multiplicando por
:
Isolando
:
Como
, concluímos
e portanto
Passo 6
Com
temos
. Logo, usando a fórmula de
do Passo 2:
Antes de finalizar, confirmamos que
: calculamos
, então
, portanto a aplicação da fórmula da tangente foi válida.
Resposta
d)