(Q16-ITA/2001) Considere as funções f(x)=\frac{5+7^{x}}{4}, g(x)=\frac{5-7^{x}}{4} e h(x)=\operatorname{arctg} x. Se a é tal que h(f(a))+h(g(a))=\frac{\pi}{4}, então f(a)-g(a) vale:
a) 0
b) 1
c) \frac{7}{4}
d) \frac{7}{2}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\frac{5+7^{x}}{4},\qquad g(x)=\frac{5-7^{x}}{4},\qquad h(x)=\operatorname{arctg}x,
e informa que existe a tal que
h(f(a))+h(g(a))=\frac{\pi}{4}.
A pergunta é: qual é o valor de f(a)-g(a)? As opções são:
a) 0 \quad b) 1 \quad c) \dfrac{7}{4} \quad d) \dfrac{7}{2}.

Passo 2

Primeiro vamos escrever expressões úteis envolvendo f e g (em geral, para um mesmo x):
Calculemos f+g, f-g e f\cdot g.
f(x)+g(x)=\frac{5+7^{x}}{4}+\frac{5-7^{x}}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.
f(x)-g(x)=\frac{5+7^{x}}{4}-\frac{5-7^{x}}{4}=\frac{2\cdot 7^{x}}{4}=\frac{7^{x}}{2}.
f(x)\,g(x)=\frac{(5+7^{x})(5-7^{x})}{16}=\frac{25-7^{2x}}{16}.
Observe que f+g é constante ( \tfrac{5}{2}) independentemente de x, e f-g depende de 7^{x} como \tfrac{7^{x}}{2}. Nosso objetivo é achar f(a)-g(a)=\tfrac{7^{a}}{2}.

Passo 3

Agora vamos usar a informação envolvendo \operatorname{arctg}. Lembrete prático (aqui vou explicar a fórmula que vamos usar):
Para números reais u e v tais que as quantidades estão bem definidas, vale a identidade (fórmula da tangente da soma)
\tan\big(\operatorname{arctg}u+\operatorname{arctg}v\big)=\frac{u+v}{1-uv},
pois \tan(\operatorname{arctg}u)=u e a fórmula geral \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}. Também sabemos que \tan\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1.
Aplicando \tan à igualdade dada em a:
\tan\big(\operatorname{arctg}f(a)+\operatorname{arctg}g(a)\big)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Pela identidade acima isso dá (desde que 1-f(a)g(a)\neq0; mais adiante conferimos essa condição):
\frac{f(a)+g(a)}{1-f(a)g(a)}=1.

Passo 4

Substituindo f(a)+g(a)=\dfrac{5}{2} na equação resultante:
\frac{\tfrac{5}{2}}{1-f(a)g(a)}=1.
Multiplicando ambos os lados por 1-f(a)g(a) e isolando f(a)g(a):
\tfrac{5}{2}=1-f(a)g(a)\quad\Rightarrow\quad f(a)g(a)=1-\tfrac{5}{2}=-\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Agora use a expressão de f(x)g(x) que obtivemos no Passo 2 para x=a:
\frac{25-7^{2a}}{16}= -\frac{3}{2}.
Multiplicando por 16:
25-7^{2a}=-24.
Isolando 7^{2a}:
-7^{2a}=-49\quad\Rightarrow\quad 7^{2a}=49.
Como 49=7^{2}, concluímos 2a=2 e portanto
a=1.

Passo 6

Com a=1 temos 7^{a}=7. Logo, usando a fórmula de f-g do Passo 2:
f(a)-g(a)=\frac{7^{a}}{2}=\frac{7}{2}.
Antes de finalizar, confirmamos que 1-f(a)g(a)\neq0: calculamos f(a)g(a)=-\tfrac{3}{2}, então 1-f(a)g(a)=1-(-\tfrac{3}{2})=\tfrac{5}{2}\neq0, portanto a aplicação da fórmula da tangente foi válida.

Resposta

d) \dfrac{7}{2}

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