Q21. Uma bola é arremessada verticalmente a partir de uma altura de 12 m de um poço de elevador, com velocidade inicial de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No mesmo instante um elevador aberto de plataforma está a uma altura de 3 m , subindo com velocidade constante de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determinar: (a) quando e onde a bola se encontrará com o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador, quando ela o encontrar. R: 8 \mathrm{~m}, 3,3 \mathrm{~s} ; 49,5 \mathrm{~ms}^{-1} para baixo.

Passo 1

O enunciado dá duas moviments verticais:
– A bola parte de y_{b0}=12,m com velocidade inicial v_{b0}=15,m/s para cima e sofre aceleração da gravidade g=9{,}8,m/ s^{2} para baixo.
– O elevador parte de y_{e0}=3,m subindo com velocidade constante v_{e}=1{,}5,m/s.
Queremos (a) o instante t e a altura y em que y_{b}(t)=y_{e}(t) e (b) a velocidade relativa da bola em relação ao elevador nesse instante.

Passo 2

Escrevendo as equações de posição em função do tempo (eixo vertical positivo para cima):
y_{b}(t)=12 + 15\,t - \tfrac{1}{2}\,9{,}8\,t^{2}
y_{e}(t)=3 + 1{,}5\,t

Passo 3

Igualamos as posições para achar t:
12 + 15\,t - 4{,}9\,t^{2} \;=\; 3 + 1{,}5\,t
-4{,}9\,t^{2} + (15-1{,}5)\,t + (12-3)=0
-4{,}9\,t^{2} + 13{,}5\,t + 9 = 0
Multiplicando por -1:
4{,}9\,t^{2} - 13{,}5\,t - 9 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
t = \frac{13{,}5 \pm \sqrt{13{,}5^{2} + 4\cdot4{,}9\cdot9}}{2\cdot4{,}9} = \frac{13{,}5 \pm \sqrt{358{,}65}}{9{,}8}
A raiz positiva é
t \approx \frac{13{,}5 + 18{,}94}{9{,}8} \approx 3{,}3\text{ s}.

Passo 4

Substituindo em y_{e}(t) para achar a altura de encontro:
y = 3 + 1{,}5 \times 3{,}3 \approx 3 + 4{,}95 = 7{,}95\text{ m} \approx 8{,}0\text{ m}.

Passo 5

A velocidade da bola no instante t é
v_{b}(t)=v_{b0}-g\,t = 15 - 9{,}8\times3{,}3 \approx 15 - 32{,}3 = -17{,}3\text{ m/s},
onde o sinal negativo indica direção para baixo. O elevador tem
v_{e}=+1{,}5\text{ m/s}
(para cima).

Passo 6

A velocidade relativa da bola em relação ao elevador é
v_{\text{rel}} = v_{b}(t)-v_{e} = -17{,}3 - (+1{,}5) = -18{,}8\text{ m/s},
isto é, cerca de 18{,}8,m/s para baixo.

Resposta

O encontro ocorre em t = 3{,}3,s, na altura y = 8{,}0,m, e a velocidade relativa da bola em relação ao elevador é de 18{,}8,m/s para baixo.

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