Q27.18 As voltagens no efeito Hall são muito maiores no caso de maus condutores (como o germânio) do que no caso de bons condutores (como o cobre), considerando correntes, campos e dimensões iguais. Por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, mantendo correntes, campos e dimensões iguais, as voltagens de Hall são muito maiores em maus condutores (ex.: germânio) do que em bons condutores (ex.: cobre). Informações relevantes dadas ou implicadas:
  • Corrente I, campo magnético B e dimensões geométricas do condutor são as mesmas nos dois casos.
  • Queremos comparar a voltagem de Hall medida transversalmente nos dois materiais.
  • Não foi pedido cálculo numérico específico, apenas a razão física por trás da diferença observada.

Passo 2

O que é a voltagem de Hall (explicação conceitual, passo a passo e sem pular etapas)
  • Imagine uma barra condutora onde uma corrente elétrica I flui ao longo do eixo x.
  • Aplica-se um campo magnético uniforme \mathbf{B} perpendicular à corrente, digamos ao longo de z.
  • Portadores de carga (elétrons ou lacunas) que se movem com velocidade média de deriva v_d sentem a força magnética \mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}_d\times\mathbf{B} (onde q é a carga do portador, positiva para lacunas, negativa para elétrons).
  • Essa força tende a desviar os portadores para um dos lados da barra (direção y), e a acumulação de carga cria um campo elétrico transversal \mathbf{E}_H (o campo de Hall) que, em equilíbrio estático, equilibra a força magnética: a força elétrica q\,\mathbf{E}_H cancela \mathbf{F}_B.
  • Assim, em equilíbrio, tem-se a condição básica:
q E_H = q v_d B \quad\Rightarrow\quad E_H = v_d B.
  • A voltagem de Hall V_H é a diferença de potencial entre as faces separadas pela largura w (distância na direção y) e vale
V_H = E_H\,w = v_d B\,w.

Passo 3

Relacionando velocidade de deriva v_d com corrente e densidade de portadores (a parte chave)
  • Definição de densidade de corrente: a densidade de corrente J (magnitude) é a corrente por área da seção transversal:
J = \frac{I}{A},
onde A é a área da seção (se a barra tem espessura t e largura w, então A = t\,w).
  • Para um único tipo de portador com densidade n (número de portadores por volume) e carga q, a densidade de corrente é também
J = n q v_d.
  • Isolando v_d:
v_d = \frac{J}{n q} = \frac{I}{n q\,t\,w}.
  • Substituindo v_d em V_H = v_d B\,w (note que o w cancela):
V_H = \left(\frac{I}{n q\,t\,w}\right) B\,w = \frac{I B}{n q\,t}.
  • Explicando cada símbolo:
    • V_H: voltagem de Hall (V).
    • I: corrente que atravessa a barra (A).
    • B: módulo do campo magnético aplicado (T).
    • n: densidade de portadores (m^{-3}).
    • q: carga elementar do portador (para elétrons |q|=e=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}).
    • t: espessura do material na direção do campo (m).

Passo 4

Interpretação da fórmula e razão física do enunciado
  • A fórmula chave é
V_H = \frac{I B}{n q\,t}.
  • Observe que V_H é inversamente proporcional à densidade de portadores n. Isso significa: quanto menor for n, maior será V_H, para os mesmos I, B e t.
  • Bons condutores (metais como o cobre) têm densidades eletrônicas extremamente altas, tipicamente da ordem de n_{\text{metal}}\sim 10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Maus condutores ou semicondutores puros (como o germânio intrínseco) têm n muito menor, por exemplo n_{\text{Ge}} pode ser da ordem de 10^{19}\\ \mathrm{m^{-3}} (valores dependem de dopagem e temperatura).
  • Portanto, para os mesmos I,B,t a razão entre as voltagens de Hall é aproximadamente a razão inversa das densidades:
\frac{V_H(\text{Ge})}{V_H(\text{Cu})} \approx \frac{n_{\text{Cu}}}{n_{\text{Ge}}}\gg 1.
Isto explica por que a voltagem de Hall em germânio é muito maior do que em cobre.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (para fixar a ideia, sem exigir calculadora complexa)
  • Tomando números típicos para ver a ordem de grandeza:
    • n_{\text{Cu}}\approx 8{,}5\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.
    • n_{\text{Ge}}\approx 2{,}3\times10^{19}\\ \mathrm{m^{-3}} (grosso modo, para um Ge pouco dopado).
    • q=e=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Suponha I=1\\ \mathrm{A}, B=1\\ \mathrm{T} e t=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m} só para ter números fáceis.
  • Para o cobre:
V_H(\text{Cu}) \approx \frac{1\cdot1}{(8{,}5\times10^{28})(1{,}60\times10^{-19})(1\times10^{-3})} \approx 7{,}3\times10^{-8}\\ \mathrm{V}
(ou seja, algumas dezenas de nanossegundos de volt — extremamente pequeno).
  • Para o germânio:
V_H(\text{Ge}) \approx \frac{1\cdot1}{(2{,}3\times10^{19})(1{,}60\times10^{-19})(1\times10^{-3})} \approx 2{,}7\times10^{2}\\ \mathrm{V}
(centenas de volts no exemplo extremo — mostra a grande diferença de ordens de magnitude).
  • Esses números ilustram apenas a diferença de escala causada por n; na prática, correntes e espessuras utilizadas são tais que as voltagens medidas em semicondutores ficam facilmente mensuráveis, enquanto em metais são muito pequenas e difíceis de detectar.

Passo 6

Observações adicionais rápidas e úteis para a prova (coisa prática)
  • O coeficiente de Hall R_H é definido por
R_H=\frac{E_H}{J B}=\frac{1}{n q},
então o comportamento é diretamente ligado a 1/n.
  • A condutividade elétrica \sigma depende de n e da mobilidade \mu: \sigma = n q \mu. Assim, materiais podem ter baixa condutividade por ter pequeno n ou por ter baixa \mu. A voltagem de Hall, entretanto, não depende de \mu na expressão ideal acima; depende primariamente de n.
  • Em semicondutores dopados, n pode variar muito (e o sinal do Hall indica se os portadores majoritários são positivos ou negativos), por isso dispositivos semicondutores são muito usados para medição de Hall sensível.

Resposta

Porque a voltagem de Hall satisfaz \displaystyle V_H=\frac{I B}{n q\,t}, ou seja, é inversamente proporcional à densidade de portadores n; maus condutores (como germânio) têm n muito menor que bons condutores (como cobre), logo, para as mesmas corrente, campo e dimensões, V_H é muito maior nos maus condutores.

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