Q27.18 As voltagens no efeito Hall são muito maiores no caso de maus condutores (como o germânio) do que no caso de bons condutores (como o cobre), considerando correntes, campos e dimensões iguais. Por quê?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, mantendo correntes, campos e dimensões iguais, as voltagens de Hall são muito maiores em maus condutores (ex.: germânio) do que em bons condutores (ex.: cobre). Informações relevantes dadas ou implicadas:
- Corrente
, campo magnético e dimensões geométricas do condutor são as mesmas nos dois casos. - Queremos comparar a voltagem de Hall medida transversalmente nos dois materiais.
- Não foi pedido cálculo numérico específico, apenas a razão física por trás da diferença observada.
Passo 2
O que é a voltagem de Hall (explicação conceitual, passo a passo e sem pular etapas)
- Imagine uma barra condutora onde uma corrente elétrica
flui ao longo do eixo . - Aplica-se um campo magnético uniforme
perpendicular à corrente, digamos ao longo de . - Portadores de carga (elétrons ou lacunas) que se movem com velocidade média de deriva
sentem a força magnética (onde é a carga do portador, positiva para lacunas, negativa para elétrons). - Essa força tende a desviar os portadores para um dos lados da barra (direção
), e a acumulação de carga cria um campo elétrico transversal (o campo de Hall) que, em equilíbrio estático, equilibra a força magnética: a força elétrica cancela . - Assim, em equilíbrio, tem-se a condição básica:
- A voltagem de Hall
é a diferença de potencial entre as faces separadas pela largura (distância na direção ) e vale
Passo 3
Relacionando velocidade de deriva
com corrente e densidade de portadores (a parte chave)
- Definição de densidade de corrente: a densidade de corrente
(magnitude) é a corrente por área da seção transversal:
onde
é a área da seção (se a barra tem espessura
e largura
, então
).
- Para um único tipo de portador com densidade
(número de portadores por volume) e carga , a densidade de corrente é também
- Isolando
:
- Substituindo
em (note que o cancela):
- Explicando cada símbolo:
-
: voltagem de Hall (V). -
: corrente que atravessa a barra (A). -
: módulo do campo magnético aplicado (T). -
: densidade de portadores (m^{-3}). -
: carga elementar do portador (para elétrons ). -
: espessura do material na direção do campo (m).
-
Passo 4
Interpretação da fórmula e razão física do enunciado
- A fórmula chave é
- Observe que
é inversamente proporcional à densidade de portadores . Isso significa: quanto menor for , maior será , para os mesmos , e . - Bons condutores (metais como o cobre) têm densidades eletrônicas extremamente altas, tipicamente da ordem de
. - Maus condutores ou semicondutores puros (como o germânio intrínseco) têm
muito menor, por exemplo pode ser da ordem de (valores dependem de dopagem e temperatura). - Portanto, para os mesmos
a razão entre as voltagens de Hall é aproximadamente a razão inversa das densidades:
Isto explica por que a voltagem de Hall em germânio é muito maior do que em cobre.
Passo 5
Exemplo numérico ilustrativo (para fixar a ideia, sem exigir calculadora complexa)
- Tomando números típicos para ver a ordem de grandeza:
-
. -
(grosso modo, para um Ge pouco dopado). -
. - Suponha
, e só para ter números fáceis.
-
- Para o cobre:
(ou seja, algumas dezenas de nanossegundos de volt — extremamente pequeno).
- Para o germânio:
(centenas de volts no exemplo extremo — mostra a grande diferença de ordens de magnitude).
- Esses números ilustram apenas a diferença de escala causada por
; na prática, correntes e espessuras utilizadas são tais que as voltagens medidas em semicondutores ficam facilmente mensuráveis, enquanto em metais são muito pequenas e difíceis de detectar.
Passo 6
Observações adicionais rápidas e úteis para a prova (coisa prática)
- O coeficiente de Hall
é definido por
então o comportamento é diretamente ligado a
.
- A condutividade elétrica
depende de e da mobilidade : . Assim, materiais podem ter baixa condutividade por ter pequeno ou por ter baixa . A voltagem de Hall, entretanto, não depende de na expressão ideal acima; depende primariamente de . - Em semicondutores dopados,
pode variar muito (e o sinal do Hall indica se os portadores majoritários são positivos ou negativos), por isso dispositivos semicondutores são muito usados para medição de Hall sensível.
Resposta
Porque a voltagem de Hall satisfaz
, ou seja, é inversamente proporcional à densidade de portadores
; maus condutores (como germânio) têm
muito menor que bons condutores (como cobre), logo, para as mesmas corrente, campo e dimensões,
é muito maior nos maus condutores.