Q3. Calcule a derivada das seguintes funções (Derivação Exponencial e Logarítmica): Observação: Lembre-se que se você tem duas funções f(x) e g(x), assumindo que a imagem de f possui apenas valores positivos, a seguinte igualdade é válida: f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \ln (f(x))}.
g(x)=x^{x}, \operatorname{com} \operatorname{dom}(g)=(0, \infty)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=x^{x},
com domínio (0,\infty). Foi dada a observação útil (que podemos usar):
f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))},
válida quando a imagem de f contém só valores positivos. Aqui x>0 garante que \ln(x) está definido.

Passo 2

Reescrevendo g(x) usando a observação dada (isso facilita a diferenciação):
g(x)=x^{x}=e^{x\ln x}.
Explicação rápida: escrever x^{x} como uma exponencial de base e transforma a potência em produto dentro do expoente, o que deixa a diferenciação mais direta.

Passo 3

Defino a função interna
h(x)=x\ln x,
de modo que
g(x)=e^{h(x)}.
Agora uso a regra da cadeia para diferenciar uma exponencial composta. Regra da cadeia (mini-aula): se y=e^{u(x)} então
y'=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Intuição: a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, e por cadeia multiplica-se pela derivada de u.
Aplicando isso aqui:
g'(x)=e^{h(x)}\cdot h'(x).

Passo 4

Calcular h'(x). Lembrando que h(x)=x\cdot\ln x, uso a regra do produto. Regra do produto (mini-aula): se u(x)v(x) então
(uv)'=u'v+uv'.
No nosso caso, u(x)=x e v(x)=\ln x. Então u'(x)=1 e v'(x)=\dfrac{1}{x} (porque a derivada de \ln x é \tfrac{1}{x}; isso vem do fato de \ln ser a inversa de e^x). Assim
h'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.

Passo 5

Substituindo h'(x) em g'(x)=e^{h(x)}\cdot h'(x) obtemos
g'(x)=e^{x\ln x}\,(\ln x + 1).
Agora uso novamente que e^{x\ln x}=x^{x} para simplificar:
g'(x)=x^{x}\,(\ln x + 1).

Passo 6

Comentário didático final e generalização curta: o resultado é
g'(x)=x^{x}(\ln x+1),
válido para todo x\in(0,\infty). Como dica para a prova: sempre que a base e o expoente dependem de x, escrever como e^{g(x)\ln f(x)} e aplicar cadeia + produto costuma ser o caminho mais curto. A fórmula geral (derivação exponencial/logarítmica) que sai desse raciocínio é, para y=f(x)^{g(x)} com f>0,
y'=f(x)^{g(x)}\!\left(g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right).
No caso f(x)=x, g(x)=x essa fórmula reduz exatamente a x^{x}(\ln x+1).

Resposta

g'(x)=x^{x}(\ln x+1)

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