Q3. Calcule a derivada das seguintes funções (Derivação Exponencial e Logarítmica): Observação: Lembre-se que se você tem duas funções
e
, assumindo que a imagem de
possui apenas valores positivos, a seguinte igualdade é válida:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
com domínio
. Foi dada a observação útil (que podemos usar):
válida quando a imagem de
contém só valores positivos. Aqui
garante que
está definido.
Passo 2
Reescrevendo
usando a observação dada (isso facilita a diferenciação):
Explicação rápida: escrever
como uma exponencial de base
transforma a potência em produto dentro do expoente, o que deixa a diferenciação mais direta.
Passo 3
Defino a função interna
de modo que
Agora uso a regra da cadeia para diferenciar uma exponencial composta. Regra da cadeia (mini-aula): se
então
Intuição: a derivada de
em relação a
é
, e por cadeia multiplica-se pela derivada de
.
Aplicando isso aqui:
Passo 4
Calcular
. Lembrando que
, uso a regra do produto. Regra do produto (mini-aula): se
então
No nosso caso,
e
. Então
e
(porque a derivada de
é
; isso vem do fato de
ser a inversa de
). Assim
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
Agora uso novamente que
para simplificar:
Passo 6
Comentário didático final e generalização curta: o resultado é
válido para todo
. Como dica para a prova: sempre que a base e o expoente dependem de
, escrever como
e aplicar cadeia + produto costuma ser o caminho mais curto. A fórmula geral (derivação exponencial/logarítmica) que sai desse raciocínio é, para
com
,
No caso
,
essa fórmula reduz exatamente a
.