Q4. Considere a curva dada pelas seguintes equações. Encontre a equação da reta tangente às curvas no ponto indicado:
, no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida pela equação
e pede: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação implícita da curva é
. - O ponto onde se quer a reta tangente é
. - A tarefa é achar a equação da reta tangente (ou seja, a reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma direção da curva ali).
Passo 2
Verificar primeiro se o ponto pertence à curva. Isso é obrigatório: só faz sentido falar em reta tangente num ponto que esteja sobre a curva.
Substituindo
e
na equação da curva:
O lado direito da equação dada é
. Logo, ao substituir o ponto,
ou seja, o ponto
NÃO satisfaz a equação
. A reta tangente a uma curva num ponto é uma característica local da curva nesse ponto — o ponto precisa pertencer à curva. Se o ponto não está na curva, não faz sentido falar em reta tangente daquela curva em tal ponto. Portanto, com a informação dada, não existe reta tangente da curva
no ponto
.
Passo 3
Para te ensinar o procedimento que se usa quando o ponto realmente pertence à curva (para que você saiba fazer na prova caso o enunciado esteja correto), aqui vai o método passo a passo e a razão de cada etapa.
A ideia é tratar
como função de
,
, e diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
(diferenciação implícita). Diferenciando termo a termo da equação
, obtemos:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pela regra da cadeia, pois é uma função de ). - A derivada de
em relação a é
Passo 4
=-3\big(1\cdot y + x\cdot \dfrac{dy}{dx}\big)=-3y-3x\dfrac{dy}{dx}) (pela regra do produto).
- A derivada de
(uma constante) em relação a é .
Juntando todos os termos diferenciados, temos:
Agrupando os termos que contêm
:
Isolando
, obtemos a inclinação da reta tangente:
Esta fórmula dá a inclinação da reta tangente (o declive
) em qualquer ponto
da curva onde o denominador não seja zero e o ponto pertença à curva.
É importante notar alguns casos especiais (útil para prova):
- Se ao avaliar
em um ponto da curva o denominador for zero e o numerador não for zero, então a tangente é vertical (inclinação infinita). - Se ambos numerador e denominador forem zero no ponto, temos uma indeterminação
; isso indica que o ponto pode ser um ponto singular (por exemplo um cusp, um nó, ou múltiplas tangentes). Para esses casos é preciso um estudo mais fino (por exemplo fazer expansão em torno do ponto ou mudar coordenadas) para descobrir as possíveis direções tangentes. Importante: essas análises valem apenas se o ponto realmente pertence à curva.
Passo 5
Aplicando o que foi aprendido ao ponto dado: tentamos avaliar a pertinência do ponto e vimos no Passo 2 que
NÃO pertence à curva. Portanto todos os argumentos sobre derivada ou singularidade tornam-se irrelevantes para obter uma reta tangente nesse ponto específico porque não há reta tangente da curva naquele ponto.
Resposta
O ponto
não pertence à curva
;\ portanto não existe reta tangente da curva neste ponto.