Q4. Considere a curva dada pelas seguintes equações. Encontre a equação da reta tangente às curvas no ponto indicado:
x^{3}+y^{3}-3 x y=1, no ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida pela equação
x^{3}+y^{3}-3xy=1
e pede: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação implícita da curva é \;x^{3}+y^{3}-3xy=1\;.
  • O ponto onde se quer a reta tangente é \;(1,1)\;.
  • A tarefa é achar a equação da reta tangente (ou seja, a reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma direção da curva ali).

Passo 2

Verificar primeiro se o ponto pertence à curva. Isso é obrigatório: só faz sentido falar em reta tangente num ponto que esteja sobre a curva.
Substituindo x=1 e y=1 na equação da curva:
1^{3}+1^{3}-3\cdot1\cdot1 = 1+1-3 = -1.
O lado direito da equação dada é 1. Logo, ao substituir o ponto,
-1 \neq 1,
ou seja, o ponto (1,1) NÃO satisfaz a equação \;x^{3}+y^{3}-3xy=1\;. A reta tangente a uma curva num ponto é uma característica local da curva nesse ponto — o ponto precisa pertencer à curva. Se o ponto não está na curva, não faz sentido falar em reta tangente daquela curva em tal ponto. Portanto, com a informação dada, não existe reta tangente da curva \;x^{3}+y^{3}-3xy=1\; no ponto (1,1).

Passo 3

Para te ensinar o procedimento que se usa quando o ponto realmente pertence à curva (para que você saiba fazer na prova caso o enunciado esteja correto), aqui vai o método passo a passo e a razão de cada etapa.
A ideia é tratar y como função de x, y=y(x), e diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x (diferenciação implícita). Diferenciando termo a termo da equação \;x^{3}+y^{3}-3xy=1\;, obtemos:
  • A derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • A derivada de y^{3} em relação a x é 3y^{2}\dfrac{dy}{dx} (pela regra da cadeia, pois y é uma função de x).
  • A derivada de -3xy em relação a x é -3\big(x\cdot y\big)

Passo 4

=-3\big(1\cdot y + x\cdot \dfrac{dy}{dx}\big)=-3y-3x\dfrac{dy}{dx}) (pela regra do produto).
  • A derivada de 1 (uma constante) em relação a x é 0.
Juntando todos os termos diferenciados, temos:
3x^{2}+3y^{2}\dfrac{dy}{dx}-3y-3x\dfrac{dy}{dx}=0.
Agrupando os termos que contêm \dfrac{dy}{dx}:
\big(3y^{2}-3x\big)\dfrac{dy}{dx}+3x^{2}-3y=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}, obtemos a inclinação da reta tangente:
\big(3y^{2}-3x\big)\dfrac{dy}{dx}=3y-3x^{2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y-3x^{2}}{3y^{2}-3x}=\dfrac{y-x^{2}}{y^{2}-x}.
Esta fórmula dá a inclinação da reta tangente (o declive m=\dfrac{dy}{dx}) em qualquer ponto (x,y) da curva onde o denominador não seja zero e o ponto pertença à curva.
É importante notar alguns casos especiais (útil para prova):
  • Se ao avaliar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x^{2}}{y^{2}-x} em um ponto da curva o denominador for zero e o numerador não for zero, então a tangente é vertical (inclinação infinita).
  • Se ambos numerador e denominador forem zero no ponto, temos uma indeterminação 0/0; isso indica que o ponto pode ser um ponto singular (por exemplo um cusp, um nó, ou múltiplas tangentes). Para esses casos é preciso um estudo mais fino (por exemplo fazer expansão em torno do ponto ou mudar coordenadas) para descobrir as possíveis direções tangentes. Importante: essas análises valem apenas se o ponto realmente pertence à curva.

Passo 5

Aplicando o que foi aprendido ao ponto dado: tentamos avaliar a pertinência do ponto e vimos no Passo 2 que (1,1) NÃO pertence à curva. Portanto todos os argumentos sobre derivada ou singularidade tornam-se irrelevantes para obter uma reta tangente nesse ponto específico porque não há reta tangente da curva naquele ponto.

Resposta

O ponto (1,1) não pertence à curva \;x^{3}+y^{3}-3xy=1;\ portanto não existe reta tangente da curva neste ponto.

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