Q3. Calcule a derivada das seguintes funções (Derivação Exponencial e Logarítmica): Observação: Lembre-se que se você tem duas funções f(x) e g(x), assumindo que a imagem de f possui apenas valores positivos, a seguinte igualdade é válida: f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \ln (f(x))}.
h(x)=(2 x+1)^{\sin x}, com dom( \left.h\right)=\left(\frac{-1}{2}, \infty\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=(2x+1)^{\sin x},
com domínio \left(\tfrac{-1}{2},\infty\right). Informação importante que já está no enunciado: a base 2x+1 é positiva nesse domínio (pois 2x+1>0 para x>-\tfrac{1}{2}), então podemos aplicar a identidade
f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))}.
A tarefa é encontrar h'(x).

Passo 2

Transformação útil: escrever h como exponencial para aplicar a regra da cadeia facilmente. Usando a identidade citada:
h(x)=e^{\sin x\cdot \ln(2x+1)}.
Explicação curta do porquê: derivar uma potência com expoente variável diretamente é chato; escrever como exponencial nos permite usar a regra \frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}u'(x).

Passo 3

Defino a função do expoente para aplicar a regra da cadeia com clareza:
u(x)=\sin x\cdot \ln(2x+1).
Assim h(x)=e^{u(x)}. Pela regra da cadeia,
h'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Lembre: a regra da cadeia diz que a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)} vezes a derivada de u(x).

Passo 4

Agora calculo u'(x). Como u(x) é produto de duas funções, uso a regra do produto:
\text{se }u(x)=f(x)g(x)\text{ então }u'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).ã
Aqui f(x)=\sin x e g(x)=\ln(2x+1). Então:
f'(x)=\cos x
e, para g'(x), uso a regra da cadeia para \ln(2x+1): derivada de \ln(t) é 1/t vezes t'. Como t=2x+1 tem t'=2, obtemos
g'(x)=\frac{2}{2x+1}.
Aplicando produto:
u'(x)=\cos x\cdot \ln(2x+1) + \sin x\cdot \frac{2}{2x+1}.

Passo 5

Volto para h'(x) usando h'(x)=e^{u(x)}u'(x). Substituindo u(x) e u'(x):
h'(x)=e^{\sin x\ln(2x+1)}\left(\cos x\ln(2x+1) + \frac{2\sin x}{2x+1}\right).
Como e^{\sin x\ln(2x+1)}=(2x+1)^{\sin x}, uma forma mais compacta é
h'(x)=(2x+1)^{\sin x}\left(\cos x\ln(2x+1) + \frac{2\sin x}{2x+1}\right).

Passo 6

Resumo didático do que foi usado (rápido e prático para a prova):
  • Garantir base positiva no domínio para poder aplicar \ln.
  • Reescrever f^{g}=e^{g\ln f}.
  • Derivar e^{u(x)} com regra da cadeia.
  • Derivar u(x)=\sin x\cdot \ln(2x+1) com regra do produto e regra da cadeia na derivada de \ln(2x+1).

Resposta

h'(x)=(2x+1)^{\sin x}\!\left(\cos x\ln(2x+1)+\frac{2\sin x}{2x+1}\right)

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