Q3. Calcule a derivada das seguintes funções (Derivação Exponencial e Logarítmica): Observação: Lembre-se que se você tem duas funções
e
, assumindo que a imagem de
possui apenas valores positivos, a seguinte igualdade é válida:
.
, com dom(
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
com domínio
. Informação importante que já está no enunciado: a base
é positiva nesse domínio (pois
para
), então podemos aplicar a identidade
A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Transformação útil: escrever
como exponencial para aplicar a regra da cadeia facilmente. Usando a identidade citada:
Explicação curta do porquê: derivar uma potência com expoente variável diretamente é chato; escrever como exponencial nos permite usar a regra
.
Passo 3
Defino a função do expoente para aplicar a regra da cadeia com clareza:
Assim
. Pela regra da cadeia,
Lembre: a regra da cadeia diz que a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 4
Agora calculo
. Como
é produto de duas funções, uso a regra do produto:
Aqui
e
. Então:
e, para
, uso a regra da cadeia para
: derivada de
é
vezes
. Como
tem
, obtemos
Aplicando produto:
Passo 5
Volto para
usando
. Substituindo
e
:
Como
, uma forma mais compacta é
Passo 6
Resumo didático do que foi usado (rápido e prático para a prova):
- Garantir base positiva no domínio para poder aplicar
. - Reescrever
. - Derivar
com regra da cadeia. - Derivar
com regra do produto e regra da cadeia na derivada de .