Q3. Encontre uma solução particular de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: encontrar uma solução particular
dessa equação (ou seja, uma função que, quando substituída na equação, satisfaça a igualdade). Informações relevantes fornecidas:
- O termo à direita é
. - As derivadas são em relação à variável
.
Nada mais é pedido (não é necessário encontrar a solução geral, apenas uma solução particular).
Passo 2
Escolhendo o método (explicação didática). Vou usar o método dos coeficientes indeterminados porque o termo não-homogêneo é um exponencial simples
. Ideia do método:
- Quando o lado direito tem a forma
, onde é um polinômio e é um número, tenta-se um palpite (ansatz) do tipo , onde é um polinômio do mesmo grau de com coeficientes indeterminados e é o multiplicador requerido quando há “ressonância”. - O valor de
é a multiplicidade de como raiz do polinômio característico da parte homogênea (se não for raiz, então ).
Vou então:
- Determinar as raízes do polinômio característico da equação homogênea.
- Verificar se
é raiz; se não for, tomo com desconhecido.
Passo 3
Polinômio característico da parte homogênea (substituindo
em
):
Fatorando:
logo as raízes são
e
. Como
(do termo
) não é raiz do polinômio característico, não há ressonância e portanto
. Assim o palpite mais simples é
onde
é uma constante a determinar.
Passo 4
Calcular as derivadas de
. Usando a regra da cadeia para exponenciais (se
então derivar é multiplicar por
a cada vez):
Aqui
é constante e
é sempre não nulo; essas expressões são obtidas aplicando
.
Passo 5
Substituir
,
e
na parte esquerda da equação:
Fatorando
:
Calcule o coeficiente:
Portanto
Passo 6
Impor que a parte esquerda valha a direita
. Assim
Como
é não nulo para todo
, podemos cancelar
em ambos os lados:
Resolver para
:
Passo 7
Concluir: substituindo o valor de
no palpite obtemos a solução particular
Verificação rápida (opcional): usando
na expressão de Passo 5 dá
, que coincide com o lado direito — portanto está correto.