Q3. Encontre uma solução particular de
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=3 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-4y=3e^{2t}
e pede: encontrar uma solução particular y_p(t) dessa equação (ou seja, uma função que, quando substituída na equação, satisfaça a igualdade). Informações relevantes fornecidas:
  • O termo à direita é 3e^{2t}.
  • As derivadas são em relação à variável t.
    Nada mais é pedido (não é necessário encontrar a solução geral, apenas uma solução particular).

Passo 2

Escolhendo o método (explicação didática). Vou usar o método dos coeficientes indeterminados porque o termo não-homogêneo é um exponencial simples 3e^{2t}. Ideia do método:
  • Quando o lado direito tem a forma P(t)e^{\alpha t}, onde P(t) é um polinômio e \alpha é um número, tenta-se um palpite (ansatz) do tipo t^{s}Q(t)e^{\alpha t}, onde Q(t) é um polinômio do mesmo grau de P(t) com coeficientes indeterminados e s é o multiplicador requerido quando há “ressonância”.
  • O valor de s é a multiplicidade de \alpha como raiz do polinômio característico da parte homogênea (se \alpha não for raiz, então s=0).
    Vou então:
  1. Determinar as raízes do polinômio característico da equação homogênea.
  2. Verificar se \alpha=2 é raiz; se não for, tomo y_p(t)=A e^{2t} com A desconhecido.

Passo 3

Polinômio característico da parte homogênea (substituindo y=e^{rt} em y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-4y=0):
r^{2}-3r-4=0.
Fatorando:
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1),
logo as raízes são r=4 e r=-1. Como \alpha=2 (do termo e^{2t}) não é raiz do polinômio característico, não há ressonância e portanto s=0. Assim o palpite mais simples é
y_p(t)=A e^{2t},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p. Usando a regra da cadeia para exponenciais (se y_p=Ae^{2t} então derivar é multiplicar por 2 a cada vez):
y_p'(t)=2A e^{2t},
y_p''(t)=4A e^{2t}.
Aqui A é constante e e^{2t} é sempre não nulo; essas expressões são obtidas aplicando \dfrac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}.

Passo 5

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na parte esquerda da equação:
y_p''-3y_p'-4y_p = 4A e^{2t} -3\cdot(2A e^{2t}) -4\cdot(A e^{2t}).
Fatorando e^{2t}:
y_p''-3y_p'-4y_p = \bigl(4A -6A -4A\bigr)e^{2t}.
Calcule o coeficiente:
4A -6A -4A = (4-6-4)A = -6A.
Portanto
y_p''-3y_p'-4y_p = -6A\,e^{2t}.

Passo 6

Impor que a parte esquerda valha a direita 3e^{2t}. Assim
-6A\,e^{2t}=3e^{2t}.
Como e^{2t} é não nulo para todo t, podemos cancelar e^{2t} em ambos os lados:
-6A=3.
Resolver para A:
A=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Concluir: substituindo o valor de A no palpite obtemos a solução particular
y_p(t)=-\tfrac{1}{2}e^{2t}.
Verificação rápida (opcional): usando A=-\tfrac{1}{2} na expressão de Passo 5 dá -6\cdot(-\tfrac{1}{2})e^{2t}=3e^{2t}, que coincide com o lado direito — portanto está correto.

Resposta

y_p(t)=-\tfrac{1}{2}e^{2t}

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