Encontre a solução geral da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=(2+t) e^{-t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=(2+t)e^{-t}.
Informações relevantes:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com termos dependentes apenas de t.
  • O termo não homogêneo é (2+t)e^{-t}, que é um polinômio em t multiplicado por e^{-t}.
  • A solução geral terá a forma
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Calcular a solução da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0.
Procedimento: formar a equação característica substituindo y\sim e^{rt}:
r^2+2r+1=0.
Resolver a quadrática:
r^2+2r+1=(r+1)^2=0 \quad\Rightarrow\quad r=-1
é uma raiz de multiplicidade 2. Para uma raiz dupla r=-1 a solução homogênea é
y_h(t)=\big(C_1+C_2 t\big)e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicação curta: quando a raiz r tem multiplicidade 2, as soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt}.

Passo 3

Escolher método para achar uma solução particular y_p. Como o termo não homogêneo é (2+t)e^{-t} — um polinômio em t multiplicado por e^{-t} — o método de coeficientes determinados é apropriado. Contudo há ressonância: e^{-t} (e t e^{-t}) já aparecem em y_h porque r=-1 é raiz dupla. Para contornar isso é conveniente fazer a substituição
y(t)=e^{-t}z(t),
que remove o fator exponencial e simplifica a equação para z. Vou calcular y' e y'' passo a passo (não pule etapas):
Calcule y':
y'= (e^{-t}z)' = -e^{-t}z + e^{-t}z' = e^{-t}(z'-z).
Calcule y'':
y'' = \big(e^{-t}(z'-z)\big)' = -e^{-t}(z'-z)+e^{-t}(z''-z') = e^{-t}(z''-2z'+z).
Agora substitua y,y',y'' na equação original:
y''+2y'+y = e^{-t}(z''-2z'+z) + 2e^{-t}(z'-z)+ e^{-t}z.
Agrupando os termos dentro de e^{-t}[\cdots]:
z''-2z'+z + 2z' -2z + z = z''.
Portanto a EDO se reduz a
e^{-t} z'' = (2+t)e^{-t} \quad\Rightarrow\quad z'' = 2+t.
Observação: essa redução funciona porque escolhemos y=e^{-t}z; é uma técnica útil quando a parte exponencial da não-homogeneidade coincide com raízes da característica (resonância).

Passo 4

Resolver a EDO simples para z:
z'' = t+2.
Integrar uma vez para achar z':
z' = \int (t+2)\,dt = \tfrac{1}{2}t^2 + 2t + A,
onde A é uma constante de integração. Integrar novamente para z:
z = \int \left(\tfrac{1}{2}t^2 + 2t + A\right)\,dt = \tfrac{1}{6}t^3 + t^2 + A t + B,
onde B é outra constante de integração.
Logo
y(t)=e^{-t}z(t)=e^{-t}\Big(\tfrac{1}{6}t^3 + t^2 + A t + B\Big).

Passo 5

Interpretar as constantes A e B. Os termos A t e^{-t} e B e^{-t} são exatamente da forma da solução homogênea y_h(t)= (C_1+C_2 t)e^{-t}. Portanto podemos separar a solução geral em parte homogênea mais particular escolhendo A=B=0 para a parte particular. Assim uma solução particular conveniente é
y_p(t)=e^{-t}\Big(\tfrac{1}{6}t^3 + t^2\Big).
A solução geral é soma de y_h com y_p. Reunindo as constantes arbitrárias em C_1,C_2 obtemos
y(t)=e^{-t}\Big(C_1 + C_2 t + \tfrac{1}{6}t^3 + t^2\Big),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(t)=e^{-t}\Big(C_1 + C_2 t + \tfrac{1}{6}t^3 + t^2\Big)

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