Encontre a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral:
Informações relevantes:
- É uma EDO linear de segunda ordem com termos dependentes apenas de
. - O termo não homogêneo é
, que é um polinômio em multiplicado por . - A solução geral terá a forma
onde
é a solução geral da equação homogênea associada e
é uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Calcular a solução da equação homogênea associada:
Procedimento: formar a equação característica substituindo
:
Resolver a quadrática:
é uma raiz de multiplicidade
. Para uma raiz dupla
a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicação curta: quando a raiz
tem multiplicidade 2, as soluções independentes são
e
.
Passo 3
Escolher método para achar uma solução particular
. Como o termo não homogêneo é
— um polinômio em
multiplicado por
— o método de coeficientes determinados é apropriado. Contudo há ressonância:
(e
) já aparecem em
porque
é raiz dupla. Para contornar isso é conveniente fazer a substituição
que remove o fator exponencial e simplifica a equação para
. Vou calcular
e
passo a passo (não pule etapas):
Calcule
:
Calcule
:
Agora substitua
na equação original:
Agrupando os termos dentro de
:
Portanto a EDO se reduz a
Observação: essa redução funciona porque escolhemos
; é uma técnica útil quando a parte exponencial da não-homogeneidade coincide com raízes da característica (resonância).
Passo 4
Resolver a EDO simples para
:
Integrar uma vez para achar
:
onde
é uma constante de integração. Integrar novamente para
:
onde
é outra constante de integração.
Logo
Passo 5
Interpretar as constantes
e
. Os termos
e
são exatamente da forma da solução homogênea
. Portanto podemos separar a solução geral em parte homogênea mais particular escolhendo
para a parte particular. Assim uma solução particular conveniente é
A solução geral é soma de
com
. Reunindo as constantes arbitrárias em
obtemos
com
constantes arbitrárias reais.