Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial ordinária (EDO):
y^{\prime \prime}-y=0 ; \quad y_{1}=e^{x}, y_{2}=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede verificar que cada função dada é solução da equação diferencial ordinária. Informações fornecidas:
  • A EDO é y''-y=0.
  • As funções a verificar são y_{1} = e^{x} e y_{2} = e^{-x}.
A tarefa: para cada função, calcular as derivadas necessárias e substituir na EDO para checar se a igualdade é satisfeita para todo x.

Passo 2

O que significa ser solução de uma EDO do tipo y''-y=0? Significa que, ao calcular a segunda derivada y'' da função proposta e subtrair a própria função y, o resultado deve ser identicamente zero para todo x. O plano é: (i) calcular y' e y''; (ii) computar y''-y; (iii) mostrar que isso é 0.

Passo 3

Regra de derivação usada (explicação didática): para uma função composta \;e^{u(x)}\; vale a regra da cadeia, isto é
\frac{d}{dx}e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}.
No caso simples u(x)=x tem-se u'(x)=1, portanto a derivada de e^{x} é e^{x}. Agora aplico isso a y_{1}.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{1}:
y_{1} = e^{x}, \qquad y_{1}' = e^{x}, \qquad y_{1}'' = e^{x}.
Agora substituímos na EDO:
y_{1}''-y_{1} = e^{x}-e^{x}=0.
Como a diferença é zero para todo x, concluímos que y_{1}=e^{x} é solução da EDO.

Passo 5

Agora trate y_{2}. Aqui u(x)=-x, então pela regra da cadeia u'(x)=-1 e
\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}.
Aplicando novamente para a segunda derivada, multiplica-se por -1 outra vez.

Passo 6

Calculemos as derivadas de y_{2}:
y_{2} = e^{-x}, \qquad y_{2}' = -e^{-x}, \qquad y_{2}'' = (-1)(-e^{-x}) = e^{-x}.
Substituindo na EDO:
y_{2}''-y_{2} = e^{-x}-e^{-x}=0.
Portanto y_{2}=e^{-x} também satisfaz a EDO para todo x.

Resposta

y_{1}=e^{x} e y_{2}=e^{-x} são soluções da EDO y''-y=0.

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