Verifique que cada função dada é uma solução da equação diferencial ordinária (EDO):
Passo 1
O enunciado pede verificar que cada função dada é solução da equação diferencial ordinária. Informações fornecidas:
- A EDO é
- As funções a verificar são
e
A tarefa: para cada função, calcular as derivadas necessárias e substituir na EDO para checar se a igualdade é satisfeita para todo
.
Passo 2
O que significa ser solução de uma EDO do tipo
? Significa que, ao calcular a segunda derivada
da função proposta e subtrair a própria função
, o resultado deve ser identicamente zero para todo
. O plano é: (i) calcular
e
; (ii) computar
; (iii) mostrar que isso é
.
Passo 3
Regra de derivação usada (explicação didática): para uma função composta
vale a regra da cadeia, isto é
No caso simples
tem-se
, portanto a derivada de
é
. Agora aplico isso a
.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
:
Agora substituímos na EDO:
Como a diferença é zero para todo
, concluímos que
é solução da EDO.
Passo 5
Agora trate
. Aqui
, então pela regra da cadeia
e
Aplicando novamente para a segunda derivada, multiplica-se por
outra vez.
Passo 6
Calculemos as derivadas de
:
Substituindo na EDO:
Portanto
também satisfaz a EDO para todo
.