Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -1 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de ordem 1 com coeficientes constantes
Encontrar uma matriz fundamental qualquer (isto é, uma matriz cujas colunas sejam três soluções linearmente independentes).
Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} (a chamada matriz fundamental principal).
As informações relevantes dadas são apenas a matriz A acima e a exigência de \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando o porquê com calma):
Quando A tem três autovalores reais distintos, existe uma base formada por autovetores e A é diagonalizável. Nesse caso a solução geral do sistema pode ser construída com autovetores multiplicados por e^{\lambda t}.
Além disso, a matriz fundamental principal \boldsymbol{\Phi}(t) pode ser obtida pela exponencial matricial usando a diagonalização: se A=SDS^{-1} com D diagonal, então