Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\\\ 5 & -3\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
Foi dado o sistema linear homogêneo com matriz de coeficientes
Encontrar uma matriz fundamental (ou seja, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes do sistema).
Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaça \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} (matriz fundamental principal com condição inicial identidade).]
Passo 2
Estratégia geral e fórmula básica que vamos usar (sem resolver ainda).
Para um sistema linear autônomo \mathbf{x}'=A\mathbf{x} com A constante, uma maneira eficiente é achar os autovalores \lambda e autovetores v de A (resolvendo \det(A-\lambda I)=0 e (A-\lambda I)v=0). Cada autopar (\lambda,v) gera a solução complexa \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}v.
Se os autovalores são complexos conjugados \lambda=\alpha\pm i\beta e o autovetor correspondente é v=p+iq (com p,q reais), então as partes real e imaginária de e^{\lambda t}v=e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)(p+iq) fornecem duas soluções reais linearmente independentes:
Estas duas colunas formam uma matriz fundamental real. Para obter a matriz fundamental com \boldsymbol{\Phi}(0)=I basta normalizar qualquer matriz fundamental X(t) por X(t)X(0)^{-1}.
Agora aplicamos isso passo a passo ao nosso A.
Passo 3
Cálculo dos autovalores.
Escrevemos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Com A dado:
Os autovalores são raízes de \lambda^{2}+2\lambda+2=0. As raízes são
\lambda = \frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=-1\pm i.
Conclusão: os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1}=-1+i e \lambda_{2}=-1-i. Logo esperamos soluções oscilatórias amortecidas (fator e^{-t} e sen/cos).]
Passo 4
Encontrar um autovetor complexo para \lambda=-1+i.
Resolvemos (A-\lambda I)v=0. Calculamos A-(-1+i)I=A-(-1+i)I=A+\!(1-i)I. Mas mais direto:
Calcule e^{it}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2-i\end{pmatrix}. Usando e^{it}=\cos t + i\sin t:
Primeiro componente:
e^{it}\cdot 1 = \cos t + i\sin t.
Segundo componente:
(2-i)e^{it}=(2-i)(\cos t + i\sin t).Multiplicando:(2-i)(\cos t + i\sin t)= (2\cos t + \sin t) + i(2\sin t - \cos t).
Então \mathbf{z}(t)=e^{-t}\big(\text{(parte real)} + i\,\text{(parte imaginária)}\big)á com:
parte real
\Re(\mathbf{z}(t))=e^{-t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt] 2\cos t + \sin t\end{pmatrix},
parte imaginária
\Im(\mathbf{z}(t))=e^{-t}\begin{pmatrix}\sin t\\[4pt] 2\sin t - \cos t\end{pmatrix}.
Essas duas são soluções reais e linearmente independentes (uma é o transformado real da outra pela rotação).]
Passo 6
Formar uma matriz fundamental com essas duas soluções.
Colocando as duas soluções como colunas obtemos uma matriz fundamental X(t):
X(t)=e^{-t}\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\[6pt] 2\cos t + \sin t & 2\sin t - \cos t \end{pmatrix}.
Verificação rápida: as colunas são linearmente independentes (pois são as partes real e imaginária de uma solução complexa não degenerada), logo X(t) é uma matriz fundamental (determinante não identicamente zero).]
Passo 7
Construir a matriz fundamental que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Primeiro avaliamos X(0). Usando \cos 0=1, \sin 0=0, e^{0}=1: