Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\\\ 5 & -3\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Foi dado o sistema linear homogêneo com matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 5 & -3\end{pmatrix},
e o sistema é \mathbf{x}'=A\mathbf{x}.
  • Pedidos:
    1. Encontrar uma matriz fundamental (ou seja, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes do sistema).
    2. Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaça \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} (matriz fundamental principal com condição inicial identidade).]

Passo 2

Estratégia geral e fórmula básica que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Para um sistema linear autônomo \mathbf{x}'=A\mathbf{x} com A constante, uma maneira eficiente é achar os autovalores \lambda e autovetores v de A (resolvendo \det(A-\lambda I)=0 e (A-\lambda I)v=0). Cada autopar (\lambda,v) gera a solução complexa \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}v.
  • Se os autovalores são complexos conjugados \lambda=\alpha\pm i\beta e o autovetor correspondente é v=p+iq (com p,q reais), então as partes real e imaginária de e^{\lambda t}v=e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)(p+iq) fornecem duas soluções reais linearmente independentes:
\mathbf{x}_1(t)=e^{\alpha t}\Re\big(e^{i\beta t}(p+iq)\big),\qquad \mathbf{x}_2(t)=e^{\alpha t}\Im\big(e^{i\beta t}(p+iq)\big).
  • Estas duas colunas formam uma matriz fundamental real. Para obter a matriz fundamental com \boldsymbol{\Phi}(0)=I basta normalizar qualquer matriz fundamental X(t) por X(t)X(0)^{-1}.
Agora aplicamos isso passo a passo ao nosso A.

Passo 3

Cálculo dos autovalores.
  • Escrevemos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Com A dado:
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] 5 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-3-\lambda)-(-1)\cdot 5.
  • Expandindo:
(1-\lambda)(-3-\lambda)+5 = -3 +2\lambda +\lambda^{2}+5 = \lambda^{2}+2\lambda+2.
  • Os autovalores são raízes de \lambda^{2}+2\lambda+2=0. As raízes são
\lambda = \frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=-1\pm i.
  • Conclusão: os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1}=-1+i e \lambda_{2}=-1-i. Logo esperamos soluções oscilatórias amortecidas (fator e^{-t} e sen/cos).]

Passo 4

Encontrar um autovetor complexo para \lambda=-1+i.
  • Resolvemos (A-\lambda I)v=0. Calculamos A-(-1+i)I=A-(-1+i)I=A+\!(1-i)I. Mas mais direto:
A-\lambda I =\begin{pmatrix}1-(-1+i) & -1 \\[4pt] 5 & -3-(-1+i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-i & -1 \\[4pt] 5 & -2-i\end{pmatrix}.
  • Procuramos v=(v_1,v_2)^T não nulo tal que
(2-i)v_1 - v_2 =0,\qquad 5 v_1 +(-2-i)v_2=0.
  • Da primeira equação temos v_2=(2-i)v_1. Isso é consistente com a segunda (são múltiplas). Tomamos o autovetor conveniente
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2-i\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construir as soluções reais a partir de e^{\lambda t}v.
  • A solução complexa é
\mathbf{z}(t)=e^{(-1+i)t}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2-i\end{pmatrix} = e^{-t}e^{it}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2-i\end{pmatrix}.
  • Calcule e^{it}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2-i\end{pmatrix}. Usando e^{it}=\cos t + i\sin t:
    • Primeiro componente:
    e^{it}\cdot 1 = \cos t + i\sin t.
    • Segundo componente:
    (2-i)e^{it}=(2-i)(\cos t + i\sin t).Multiplicando: (2-i)(\cos t + i\sin t)= (2\cos t + \sin t) + i(2\sin t - \cos t).
  • Então \mathbf{z}(t)=e^{-t}\big(\text{(parte real)} + i\,\text{(parte imaginária)}\big)á com:
    • parte real
    \Re(\mathbf{z}(t))=e^{-t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt] 2\cos t + \sin t\end{pmatrix},
    • parte imaginária
    \Im(\mathbf{z}(t))=e^{-t}\begin{pmatrix}\sin t\\[4pt] 2\sin t - \cos t\end{pmatrix}.
  • Essas duas são soluções reais e linearmente independentes (uma é o transformado real da outra pela rotação).]

Passo 6

Formar uma matriz fundamental com essas duas soluções.
  • Colocando as duas soluções como colunas obtemos uma matriz fundamental X(t):
X(t)=e^{-t}\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\[6pt] 2\cos t + \sin t & 2\sin t - \cos t \end{pmatrix}.
  • Verificação rápida: as colunas são linearmente independentes (pois são as partes real e imaginária de uma solução complexa não degenerada), logo X(t) é uma matriz fundamental (determinante não identicamente zero).]

Passo 7

Construir a matriz fundamental que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
  • Primeiro avaliamos X(0). Usando \cos 0=1, \sin 0=0, e^{0}=1:
X(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
  • A matriz fundamental procurada é
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1}.
  • Calculamos X(0)^{-1}. Para X(0)=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]2&-1\end{pmatrix} tem-se \det(X(0))=-1 e
X(0)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}
(obs.: neste caso particular X(0)^{-1}=X(0) — a matriz é sua própria inversa porque seu quadrado é a identidade).
  • Multiplicando X(t) por X(0)^{-1} obtemos, após calcular o produto, a forma explícita:
\boldsymbol{\Phi}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix} \cos t + 2\sin t & -\sin t \\[6pt] 5\sin t & \cos t - 2\sin t \end{pmatrix}.
  • Confirme rapidamente \boldsymbol{\Phi}(0)=I: para t=0 a matriz acima é 1\cdot\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=\mathbf{I}.]

Resposta

\displaystyle X(t)=e^{-t}\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\[6pt] 2\cos t + \sin t & 2\sin t - \cos t \end{pmatrix}
\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix} \cos t + 2\sin t & -\sin t \\[6pt] 5\sin t & \cos t - 2\sin t \end{pmatrix}]

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