Obtenha os valores reais de k de modo que o sistema a seguir, nas variáveis x, ye z, admita soluções diferentes de (0, 0, 0).
\left\{\begin{aligned}
x-2 y-2 z & =0 \\
3 x-k y+2 z & =0 \\
k x+y+z & =0
\end{aligned}\right.
Passo 1
O sistema dado é, nas incógnitas x,y,z\):
\[\begin{cases} x-2y-2z=0,\\[4pt] 3x-ky+2z=0,\\[4pt] kx+y+z=0. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar todos os valores reais de k\] tais que o sistema admita soluções diferentes de \((0,0,0) (isto é, soluções não-triviais).]
Passo 2
Noção importantíssima para a prova (explicada de forma simples): um sistema linear homogêneo pode ser escrito como
A\mathbf{v}=\mathbf{0},
onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{v}=(x,y,z)^{T}. Sempre existe a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}. Há soluções não-triviais se, e somente se, a matriz A for singular, isto é, se
\det(A)=0.
Intuição rápida: \det(A)=0 significa que as colunas (ou linhas) de A são linearmente dependentes, logo é possível combinar colunas para obter o vetor zero com coeficientes não todos nulos — traduzindo: existem x,y,z não todos zero que satisfazem o sistema.
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes A do sistema:
Conclusão prática para a prova: para k=-\dfrac{1}{2} ou k=-2 a matriz dos coeficientes fica singular (\det(A)=0), portanto o sistema homogêneo tem soluções não-triviais (na verdade infinitas soluções). Para quaisquer outros valores reais de k o determinante é diferente de zero e a única solução é a trivial (0,0,0).