Obtenha os valores reais de k de modo que o sistema a seguir, nas variáveis x, ye z, admita soluções diferentes de (0, 0, 0).
\left\{\begin{aligned} x-2 y-2 z & =0 \\ 3 x-k y+2 z & =0 \\ k x+y+z & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema dado é, nas incógnitas x,y,z\): \[\begin{cases} x-2y-2z=0,\\[4pt] 3x-ky+2z=0,\\[4pt] kx+y+z=0. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar todos os valores reais de k\] tais que o sistema admita soluções diferentes de \((0,0,0) (isto é, soluções não-triviais).]

Passo 2

Noção importantíssima para a prova (explicada de forma simples): um sistema linear homogêneo pode ser escrito como
A\mathbf{v}=\mathbf{0},
onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{v}=(x,y,z)^{T}. Sempre existe a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}. Há soluções não-triviais se, e somente se, a matriz A for singular, isto é, se
\det(A)=0.
Intuição rápida: \det(A)=0 significa que as colunas (ou linhas) de A são linearmente dependentes, logo é possível combinar colunas para obter o vetor zero com coeficientes não todos nulos — traduzindo: existem x,y,z não todos zero que satisfazem o sistema.

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes A do sistema:
A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\[4pt] 3 & -k & 2\\[4pt] k & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos o determinante \det(A). Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-k & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]k & 1\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -k\\[4pt]k & 1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}-k & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} = -k\cdot1 - 2\cdot1 = -k-2,
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]k & 1\end{pmatrix} = 3\cdot1 - 2\cdot k = 3-2k,
\det\begin{pmatrix}3 & -k\\[4pt]k & 1\end{pmatrix} = 3\cdot1 - (-k)\cdot k = 3 + k^{2}.
Substituindo:
\det(A) = 1\cdot(-k-2) -(-2)\cdot(3-2k) + (-2)\cdot(3+k^{2}).
Simplificando termo a termo:
\det(A) = -k-2 + 2(3-2k) -2(3+k^{2}).
\det(A) = -k-2 + 6 -4k -6 -2k^{2}.
\det(A) = -2k^{2} -5k -2.]

Passo 5

Fatoramos o polinômio:
\det(A)= -\bigl(2k^{2}+5k+2\bigr) = -\bigl(2k+1\bigr)\bigl(k+2\bigr).
Queremos \det(A)=0, então
-\bigl(2k+1\bigr)\bigl(k+2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (2k+1)(k+2)=0.
As soluções reais são
k=-\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad k=-2.

Passo 6

Conclusão prática para a prova: para k=-\dfrac{1}{2} ou k=-2 a matriz dos coeficientes fica singular ( \det(A)=0), portanto o sistema homogêneo tem soluções não-triviais (na verdade infinitas soluções). Para quaisquer outros valores reais de k o determinante é diferente de zero e a única solução é a trivial (0,0,0).

Resposta

k=-\dfrac{1}{2}
k=-2

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