Q3: Sabendo que o ponto (3,-2,-6, k) pertence ao plano (3,-1,-1,3)+\operatorname{span}\{(-3,3,2,-2),(3,-2,3,3)\}, assinale o valor de k :
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O ponto dado é (3,-2,-6,k).
  • O plano é descrito por um ponto-base e por um span: (3,-1,-1,3)+\operatorname{span}\{(-3,3,2,-2),(3,-2,3,3)\}.
  • O enunciado pede o valor de k tal que o ponto (3,-2,-6,k) pertença a esse plano.
O que isso significa em palavras: um ponto P pertence a esse plano se, e somente se, existe uma combinação linear dos vetores que geram o span (ou seja, existem escalares s e t) tal que
P = P_0 + s\,v_1 + t\,v_2,
onde P_0=(3,-1,-1,3), v_1=(-3,3,2,-2) e v_2=(3,-2,3,3). Vamos usar isso para achar s,t e então deduzir k.

Passo 2

Escrever a condição de pertencimento com as coordenadas explícitas.
Se P=(3,-2,-6,k) e P_0=(3,-1,-1,3), então a diferença P-P_0 deve ser uma combinação linear de v_1 e v_2. Calculemos P-P_0:
P-P_0 = (3-3,\,-2-(-1),\,-6-(-1),\,k-3) = (0,\,-1,\,-5,\,k-3).
Logo deve existir s,t\in\mathbb{R} tais que
(0,\,-1,\,-5,\,k-3) = s(-3,3,2,-2) + t(3,-2,3,3).

Passo 3

Escrever as equações coordenada a coordenada. Igualando cada coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} -3s + 3t = 0,\\[4pt] 3s - 2t = -1,\\[4pt] 2s + 3t = -5,\\[4pt] -2s + 3t = k-3. \end{cases}
Aqui as três primeiras equações servem para determinar s e t; a quarta dará k depois que s e t forem encontrados. É comum resolver primeiro as equações que não envolvem k.]

Passo 4

Resolver as duas primeiras equações (ou usar a primeira para redução). Da primeira equação temos
-3s+3t=0 \quad\Rightarrow\quad 3(-s+t)=0 \quad\Rightarrow\quad t=s.
Esse é um passo de substituição simples: isolou-se t em função de s.

Passo 5

Substituir t=s na segunda equação para achar s:
3s - 2t = -1 \quad\Rightarrow\quad 3s - 2s = -1 \quad\Rightarrow\quad s = -1.
Logo t=s=-1.

Passo 6

Verificar consistência com a terceira equação (sempre bom checar em problemas com várias equações): substituindo s=-1 e t=-1 na terceira equação,
2s+3t = 2(-1)+3(-1) = -2 -3 = -5,
que coincide com o lado direito -5. Portanto o sistema é consistente e s=t=-1 é solução das três primeiras equações.

Passo 7

Usar s e t para determinar k pela quarta equação. Substituindo s=-1 e t=-1 em -2s+3t obtemos
-2s+3t = -2(-1) + 3(-1) = 2 - 3 = -1.
Pela quarta equação, esse valor deve ser igual a k-3, ou seja
k-3 = -1.

Passo 8

Resolver para k:
k = -1 + 3 = 2.

Passo 9

Interpretação final curta: existe uma combinação linear (com s=t=-1) que leva o ponto-base ao ponto dado, e isso fixou k=2. Portanto o ponto dado pertence ao plano exatamente quando k=2.

Resposta

(D) 2

Exercícios relacionados