Sabendo que \[[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=-5), calcule:
[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}]]

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
  • Dado: [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = -5.
  • Pedido: calcular [\vec{v},\vec{u},\vec{w}].

Passo 2

Definição e interpretação do que é [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]:
  • O produto misto (ou produto triplo escalar) de três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} é
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
  • Aqui \vec{b}\times\vec{c} é o produto vetorial entre \vec{b} e \vec{c} (resulta num vetor perpendicular aos dois) e \vec{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar (projeção e multiplicação). O produto misto mede volume orientado do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Propriedade importante (anti-simetrias) que vamos usar:
  • Trocar a ordem de dois vetores no produto misto muda o sinal. Em particular,
[\vec{v},\vec{u},\vec{w}] = -[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].
  • Justificativa curta e didática: escrevendo o produto misto como determinante dos componentes
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\[4pt] u_2 & v_2 & w_2\\[4pt] u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix},
se trocar as duas primeiras colunas (ou seja, trocar \vec{u} e \vec{v}) o determinante muda de sinal. Essa é uma propriedade básica de determinantes e é a origem do sinal negativo.]

Passo 4

Aplicando a propriedade ao dado do enunciado:
[\vec{v},\vec{u},\vec{w}] = -[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = -(-5).

Resposta

5

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