Se
e
, determine:
Passo 1
O enunciado dá três vetores no espaço e pede o produto misto formado por
. As informações fornecidas são:
-
, -
, -
.
O que se pede explicitamente: calcular o escalar
.
Passo 2
Plano de resolução (sem começar a calcular ainda):
- Primeiro vou lembrar a definição prática do produto vetorial (cross product) entre dois vetores em coordenadas e aplicá‑la para obter
. - Depois uso a definição do produto escalar (dot product) para calcular
. - Observação útil: esse resultado também é conhecido como produto misto ou triplo escalar e pode ser obtido diretamente como o determinante de uma matriz 3×3 cujas linhas (ou colunas) são os vetores
. Vou usar isso depois como verificação.
Passo 3
Relembrando a fórmula do produto vetorial em coordenadas: para
e
,
Aqui cada componente é uma diferença de produtos das componentes dos vetores; vou aplicar isso com
e
.
Passo 4
Calcular
componente a componente, substituindo
e
.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 5
Relembrando a fórmula do produto escalar: para
e
,
Agora vou aplicar com
e
.
Calculemos:
Passo 6
Verificação alternativa (produto misto como determinante): o produto misto
é igual ao determinante da matriz cujas linhas são
:
Calculando por expansão:
Confere com o resultado anterior.]