Se \vec{u}=(3,-1,2), \vec{v}=(2,4,-1) e \vec{w}=(-1,0,1), determine:
(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço e pede o produto misto formado por (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}. As informações fornecidas são:
  • \vec{u} = (3,-1,2),
  • \vec{v} = (2,4,-1),
  • \vec{w} = (-1,0,1).
O que se pede explicitamente: calcular o escalar (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.

Passo 2

Plano de resolução (sem começar a calcular ainda):
  • Primeiro vou lembrar a definição prática do produto vetorial (cross product) entre dois vetores em coordenadas e aplicá‑la para obter \vec{u}\times\vec{v}.
  • Depois uso a definição do produto escalar (dot product) para calcular (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
  • Observação útil: esse resultado também é conhecido como produto misto ou triplo escalar e pode ser obtido diretamente como o determinante de uma matriz 3×3 cujas linhas (ou colunas) são os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Vou usar isso depois como verificação.

Passo 3

Relembrando a fórmula do produto vetorial em coordenadas: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Aqui cada componente é uma diferença de produtos das componentes dos vetores; vou aplicar isso com \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Calcular \vec{u}\times\vec{v} componente a componente, substituindo \vec{u}=(3,-1,2) e \vec{v}=(2,4,-1).
Primeira componente:
u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot(-1) - 2\cdot 4 = 1 - 8 = -7.
Segunda componente:
u_3 v_1 - u_1 v_3 = 2\cdot 2 - 3\cdot(-1) = 4 + 3 = 7.
Terceira componente:
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 12 + 2 = 14.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (-7,\,7,\,14).

Passo 5

Relembrando a fórmula do produto escalar: para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\cdot\vec{q} = p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3.
Agora vou aplicar com \vec{p}=\vec{u}\times\vec{v}=(-7,7,14) e \vec{q}=\vec{w}=(-1,0,1).
Calculemos:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = (-7)\cdot(-1) + 7\cdot 0 + 14\cdot 1 = 7 + 0 + 14 = 21.

Passo 6

Verificação alternativa (produto misto como determinante): o produto misto (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} é igual ao determinante da matriz cujas linhas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2\\[2pt] 2 & 4 & -1\\[2pt] -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}.
Calculando por expansão:
3\cdot\begin{vmatrix}4 & -1\\[2pt]0 & 1\end{vmatrix} -(-1)\cdot\begin{vmatrix}2 & -1\\[2pt]-1 & 1\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}2 & 4\\[2pt]-1 & 0\end{vmatrix} =3(4\cdot1-(-1)\cdot0)+1(2\cdot1-(-1)(-1))+2(2\cdot0-4\cdot(-1)) =12+1+8=21.
Confere com o resultado anterior.]

Resposta

21

Exercícios relacionados