Q3: Sabendo que o ponto ( 3,-3,-2, k ) pertence ao plano (2,-2,-2,3)+\operatorname{span}\{(3,1,1,2),(-2,-2,-1,-3)\}, assinale o valor de k :
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, claramente:
  • Dá um ponto pertencente ao plano: (3,-3,-2,k).
  • Dá uma descrição do plano como \,(2,-2,-2,3)+\operatorname{span}\{(3,1,1,2),(-2,-2,-1,-3)\}.
  • Pergunta: qual é o valor de k para que o ponto pertença a esse plano?
Informações relevantes (peguei do enunciado):
  • Ponto-base do plano: \mathbf{p_0}=(2,-2,-2,3).
  • Vetores diretores (geradores do span): \mathbf{v}=(3,1,1,2) e \mathbf{w}=(-2,-2,-1,-3).
  • Ponto candidato no plano: \mathbf{p}=(3,-3,-2,k).

Passo 2

Entendendo a definição que vamos usar (pequena aula): um plano afim dado por um ponto \mathbf{p_0} e dois vetores diretores \mathbf{v},\mathbf{w} é o conjunto de todos os pontos da forma
\mathbf{p_0}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w},
onde s e t são escalares reais. Isso significa que \mathbf{p} pertence ao plano exatamente quando existem s,t\in\mathbb{R} tais que
\mathbf{p}=\mathbf{p_0}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w}.
Aqui cada coordenada fornece uma equação linear nas incógnitas s e t. Vou montar essas equações.

Passo 3

Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada (peguei as coordenadas do enunciado):
(3,-3,-2,k)=(2,-2,-2,3)+s(3,1,1,2)+t(-2,-2,-1,-3).
Isto gera o sistema obtido comparando cada coordenada:
\begin{cases} 2+3s-2t=3,\\[4pt] -2+s-2t=-3,\\[4pt] -2+s-t=-2,\\[4pt] 3+2s-3t=k. \end{cases}
Cada linha corresponde a uma coordenada (1ª, 2ª, 3ª, 4ª).]

Passo 4

Resolver as primeiras três equações para encontrar s e t.
Começo pela terceira equação (porque é a mais simples):
-2+s-t=-2.
Subtraindo -2 dos dois lados cancela o -2, fica
s-t=0,
ou seja
s=t.
Isso já simplifica bastante.

Passo 5

Usar s=t na segunda equação:
-2+s-2t=-3.
Substituindo t=s
-2+s-2s=-3 \quad\Longrightarrow\quad -2 - s = -3.
Somando 2 em ambos os lados:
-s=-1 \quad\Longrightarrow\quad s=1.
Então, pela relação s=t, temos também
t=1.

Passo 6

Verificar rapidamente que s=1,t=1 satisfaz a primeira equação para consistência:
Primeira equação: 2+3s-2t=3.
Substituindo s=1,t=1:
2+3\cdot1-2\cdot1=2+3-2=3,
que é verdade. Portanto s=1,t=1 é a solução consistente do sistema das três primeiras coordenadas.

Passo 7

Agora obtenho k usando a quarta coordenada:
k=3+2s-3t.
Substituindo s=1 e t=1:
k=3+2\cdot1-3\cdot1=3+2-3.
Calcule passo a passo: 3+2=5, 5-3=2. Logo
k=2.

Passo 8

Comentário final (motivação para prova): o método padrão é sempre escrever o ponto pedido como \mathbf{p_0}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w}, montar o sistema coordenada a coordenada e resolver para s,t (ou para as incógnitas necessárias). Se sobrar uma coordenada com k, substitui-se os valores de s,t e encontra-se k. Esse processo é rápido e sistemático em prova.

Resposta

2

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