Q3: Sabendo que o ponto ( 3,-3,-2, k ) pertence ao plano (2,-2,-2,3)+\operatorname{span}\{(3,1,1,2),(-2,-2,-1,-3)\}, assinale o valor de k :
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, claramente:
Dá um ponto pertencente ao plano: (3,-3,-2,k).
Dá uma descrição do plano como \,(2,-2,-2,3)+\operatorname{span}\{(3,1,1,2),(-2,-2,-1,-3)\}.
Pergunta: qual é o valor de k para que o ponto pertença a esse plano?
Informações relevantes (peguei do enunciado):
Ponto-base do plano: \mathbf{p_0}=(2,-2,-2,3).
Vetores diretores (geradores do span): \mathbf{v}=(3,1,1,2) e \mathbf{w}=(-2,-2,-1,-3).
Ponto candidato no plano: \mathbf{p}=(3,-3,-2,k).
Passo 2
Entendendo a definição que vamos usar (pequena aula): um plano afim dado por um ponto \mathbf{p_0} e dois vetores diretores \mathbf{v},\mathbf{w} é o conjunto de todos os pontos da forma
\mathbf{p_0}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w},
onde s e t são escalares reais. Isso significa que \mathbf{p} pertence ao plano exatamente quando existem s,t\in\mathbb{R} tais que
\mathbf{p}=\mathbf{p_0}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w}.
Aqui cada coordenada fornece uma equação linear nas incógnitas s e t. Vou montar essas equações.
Passo 3
Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada (peguei as coordenadas do enunciado):
Cada linha corresponde a uma coordenada (1ª, 2ª, 3ª, 4ª).]
Passo 4
Resolver as primeiras três equações para encontrar s e t.
Começo pela terceira equação (porque é a mais simples):
-2+s-t=-2.
Subtraindo -2 dos dois lados cancela o -2, fica
s-t=0,
ou seja
s=t.
Isso já simplifica bastante.
Passo 5
Usar s=t na segunda equação:
-2+s-2t=-3.
Substituindo t=s dá
-2+s-2s=-3 \quad\Longrightarrow\quad -2 - s = -3.
Somando 2 em ambos os lados:
-s=-1 \quad\Longrightarrow\quad s=1.
Então, pela relação s=t, temos também
t=1.
Passo 6
Verificar rapidamente que s=1,t=1 satisfaz a primeira equação para consistência:
Primeira equação: 2+3s-2t=3.
Substituindo s=1,t=1:
2+3\cdot1-2\cdot1=2+3-2=3,
que é verdade. Portanto s=1,t=1 é a solução consistente do sistema das três primeiras coordenadas.
Passo 7
Agora obtenho k usando a quarta coordenada:
k=3+2s-3t.
Substituindo s=1 e t=1:
k=3+2\cdot1-3\cdot1=3+2-3.
Calcule passo a passo: 3+2=5, 5-3=2. Logo
k=2.
Passo 8
Comentário final (motivação para prova): o método padrão é sempre escrever o ponto pedido como \mathbf{p_0}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w}, montar o sistema coordenada a coordenada e resolver para s,t (ou para as incógnitas necessárias). Se sobrar uma coordenada com k, substitui-se os valores de s,t e encontra-se k. Esse processo é rápido e sistemático em prova.