Q3
Sejam x e y números reais positivos. Mostre que
\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}

Passo 1

O enunciado dá que x e y são números reais positivos (ou seja, x>0 e y>0).
Pede para mostrar a desigualdade
\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}.
Aqui estão as informações relevantes: x>0, y>0 e a desigualdade a ser provada. Nada mais será assumido.

Passo 2

Como x+y>0, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade desejada por x+y sem mudar o sentido da desigualdade. Assim a desigualdade é equivalente a
\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+y) \ge 4.
Explicar: multiplicar por uma quantidade positiva preserva a desigualdade, por isso essa transformação é válida.

Passo 3

Agora desenvolvemos o produto do lado esquerdo. Calcula-se termo a termo:
\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+y) = \frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y}.
Separando as frações:
\frac{x+y}{x} + \frac{x+y}{y} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{y}.
Como \dfrac{x}{x}=1 e \dfrac{y}{y}=1, obtemos
\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+y) = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}.

Passo 4

Agora precisamos mostrar que 2 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 4, ou seja, que
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2.
Para isso usamos a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM-GM) em sua forma básica: para quaisquer a>0 e b>0,
\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}.
Uma prova curta do AM-GM: (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0 implica a+b-2\sqrt{ab}\ge0, que é exatamente a desigualdade acima.

Passo 5

Aplicamos AM-GM com a=\dfrac{x}{y} e b=\dfrac{y}{x} (ambos positivos porque x,y>0):
\frac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}{2} \ge \sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}} = \sqrt{1} = 1.
Multiplicando por 2 obtemos
\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \ge 2.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 3,
\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+y) = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2 + 2 = 4.
Portanto
\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+y) \ge 4,
e dividindo por x+y>0 obtemos a desigualdade desejada. Observação final: a igualdade ocorre quando \dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x}, isto é, quando x=y.

Resposta

\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}

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