Q3
Sejam
e
números reais positivos. Mostre que
Sejam
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números reais positivos (ou seja,
e
).
Pede para mostrar a desigualdade
Pede para mostrar a desigualdade
Aqui estão as informações relevantes:
,
e a desigualdade a ser provada. Nada mais será assumido.
Passo 2
Como
, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade desejada por
sem mudar o sentido da desigualdade. Assim a desigualdade é equivalente a
Explicar: multiplicar por uma quantidade positiva preserva a desigualdade, por isso essa transformação é válida.
Passo 3
Agora desenvolvemos o produto do lado esquerdo. Calcula-se termo a termo:
Separando as frações:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Agora precisamos mostrar que
, ou seja, que
Para isso usamos a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM-GM) em sua forma básica: para quaisquer
e
,
Uma prova curta do AM-GM:
implica
, que é exatamente a desigualdade acima.
Passo 5
Aplicamos AM-GM com
e
(ambos positivos porque
):
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 3,
Portanto
e dividindo por
obtemos a desigualdade desejada. Observação final: a igualdade ocorre quando
, isto é, quando
.