Q4
As raízes da equação x^{3}+q x^{2}+r x+s=0, com q, r, s \in \mathbb{Q}_{+}^{*}, são A, B, C. Determine o valor de
\frac{A}{B C}+\frac{B}{A C}+\frac{C}{A B}

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação cúbica
x^{3}+q x^{2}+r x+s=0
cuja q,r,s pertencem a \mathbb{Q}_{+}^{*} (ou seja, são racionais estritamente positivos). Suas raízes são A,B,C. O que pede o problema é calcular o valor da expressão
\frac{A}{B C}+\frac{B}{A C}+\frac{C}{A B}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As raízes são A,B,C.
  • Os coeficientes q,r,s são não nulos (positivos), logo s\neq0.
  • Como ABC=-s, segue que ABC\neq0, então podemos dividir por AB,BC,AC sem problema.

Passo 2

Vamos relacionar os coeficientes do polinômio com as somas simétricas das raízes (isto é um passo algébrico padrão que vem de expandir o produto (x-A)(x-B)(x-C)). Faço a fatoração e expansão passo a passo:
(x-A)(x-B)(x-C)
Primeiro multiplico dois fatores:
(x-A)(x-B)=x^{2}-(A+B)x+AB.
Agora multiplico pelo terceiro:
[x^{2}-(A+B)x+AB](x-C)=x^{3}-(A+B+C)x^{2}+(AB+AC+BC)x-ABC.
Comparando com o polinômio dado \,x^{3}+q x^{2}+r x+s\,, igualando coeficientes temos as relações (essas são as fórmulas de Viète):
A+B+C = -q,
AB+AC+BC = r,
ABC = -s.

Passo 3

Agora vou manipular a expressão pedida para escrevê‑la em termos das somas simétricas que já temos. Observe que, por exemplo,
\frac{A}{BC}=\frac{A^{2}}{ABC}.
Fazendo isso para os três termos e somando:
\frac{A}{BC}+\frac{B}{AC}+\frac{C}{AB}=\frac{A^{2}+B^{2}+C^{2}}{ABC}.

Passo 4

Preciso então expressar A^{2}+B^{2}+C^{2} em termos de A+B+C e AB+AC+BC. Uso a identidade algébrica básica para o quadrado da soma:
(A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2(AB+AC+BC).
Isolando A^{2}+B^{2}+C^{2} obtenho
A^{2}+B^{2}+C^{2}=(A+B+C)^{2}-2(AB+AC+BC).

Passo 5

Substituo as relações de Viète em (A+B+C)^{2}-2(AB+AC+BC). Lembro que A+B+C=-q e AB+AC+BC=r, então
A^{2}+B^{2}+C^{2}=(-q)^{2}-2r=q^{2}-2r.
Também já tenho ABC=-s. Assim a soma pedida fica
\frac{A^{2}+B^{2}+C^{2}}{ABC}=\frac{q^{2}-2r}{-s}.

Passo 6

Simplificando o sinal no numerador sobre o denominador:
\frac{q^{2}-2r}{-s}=\frac{2r-q^{2}}{s}.
Esse é um resultado em termos dos coeficientes q,r,s, todos conhecidos (ou dados) no enunciado.

Resposta

\dfrac{2r-q^{2}}{s}

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