Q4
As raízes da equação
, com
, são
. Determine o valor de
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação cúbica
cuja
pertencem a
(ou seja, são racionais estritamente positivos). Suas raízes são
. O que pede o problema é calcular o valor da expressão
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As raízes são
. - Os coeficientes
são não nulos (positivos), logo . - Como
, segue que , então podemos dividir por sem problema.
Passo 2
Vamos relacionar os coeficientes do polinômio com as somas simétricas das raízes (isto é um passo algébrico padrão que vem de expandir o produto
). Faço a fatoração e expansão passo a passo:
Primeiro multiplico dois fatores:
Agora multiplico pelo terceiro:
Comparando com o polinômio dado
, igualando coeficientes temos as relações (essas são as fórmulas de Viète):
Passo 3
Agora vou manipular a expressão pedida para escrevê‑la em termos das somas simétricas que já temos. Observe que, por exemplo,
Fazendo isso para os três termos e somando:
Passo 4
Preciso então expressar
em termos de
e
. Uso a identidade algébrica básica para o quadrado da soma:
Isolando
obtenho
Passo 5
Substituo as relações de Viète em
. Lembro que
e
, então
Também já tenho
. Assim a soma pedida fica
Passo 6
Simplificando o sinal no numerador sobre o denominador:
Esse é um resultado em termos dos coeficientes
, todos conhecidos (ou dados) no enunciado.