Q2
Seja f a função definida por
f(x)=\log _{x+1}\left(x^{2}-2 x-8\right) .
(a) Determine o domínio D da função f.
(b) Determine o conjunto de todos os valores de x \in D tais que f(x)=2.
(c) Determine o conjunto de todos os valores de x \in D tais que f(x)>1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\log_{x+1}\bigl(x^{2}-2x-8\bigr).
As perguntas são:
(a) Determinar o domínio D da função f.
(b) Determinar todos os x\in D tais que f(x)=2.
(c) Determinar todos os x\in D tais que f(x)>1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão do logaritmo tem base x+1 e argumento x^{2}-2x-8.
  • Para que o logaritmo esteja bem definido é necessário que a base e o argumento satisfaçam certas condições (essas condições serão explicitadas no próximo passo).

Passo 2

Condição geral para logaritmos (aula curta e necessária).
Para que \log_{b}(A) esteja definido (onde b é a base e A o argumento) é preciso:
  1. A base b seja positiva: b>0.
  2. A base não seja 1: b\neq1.
  3. O argumento seja positivo: A>0.
Aqui temos b=x+1 e A=x^{2}-2x-8. Vou aplicar as três condições acima a essas expressões.

Passo 3

Aplicando as condições à base x+1:
  1. x+1>0 implica
x>-1.
  1. x+1\neq1 implica
x\neq0.
Juntas, essas duas condições dizem que x>-1 e x\neq0. Mas vamos ainda intersectar com a condição do argumento.

Passo 4

Condição do argumento: x^{2}-2x-8>0. Vou resolver essa desigualdade quadrática passo a passo.
Primeiro fatorar o polinômio:
x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2).
A desigualdade (x-4)(x+2)>0 vale quando os fatores têm o mesmo sinal. As raízes são x=4 e x=-2. Pelo teste de sinais para um produto de fatores lineares, a solução é
x<-2\quad\text{ou}\quad x>4.

Passo 5

Agora intersectar as condições da base (Passo 3) com as do argumento (Passo 4). Temos:
  • Base: x>-1 e x\neq0.
  • Argumento: x<-2 ou x>4.
A interseção de x>-1 com x<-2 é vazia (porque não existe número que seja ao mesmo tempo maior que -1 e menor que -2). Portanto a única possibilidade que resta é a interseção de x>-1 com x>4, que é simplesmente x>4. O fato de x\neq0 já está garantido por x>4. Logo o domínio é
D=(4,\infty).

Passo 6

Parte (b): resolver f(x)=2 com a restrição x\in D.
Transformar a equação logarítmica em forma exponencial:
\log_{x+1}\bigl(x^{2}-2x-8\bigr)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x-8=(x+1)^{2}.
Agora resolver a equação:
x^{2}-2x-8 = x^{2}+2x+1.
Subtrair x^{2} dos dois lados:
-2x-8 = 2x+1.
Passando termos:
-2x-8-2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad -4x-9=0.
Logo
x=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25.
Verificar se essa solução está no domínio D=(4,\infty): claramente -2{,}25\notin(4,\infty). Portanto não há soluções em D.

Passo 7

Parte (c): resolver f(x)>1 com x\in D.
Como x\in D implica x>4, temos x+1>5>1. Ou seja, a base do logaritmo é maior que 1. Para logaritmos com base b>1 a função g(A)=\log_b(A) é crescente em A. Portanto
\log_{x+1}\bigl(x^{2}-2x-8\bigr) > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x-8 > x+1,
porque elevando a base (monótona crescente), a desigualdade entre os argumentos se mantém.
Resolver a desigualdade resultante:
x^{2}-2x-8 > x+1.
Passar tudo para o lado esquerdo:
x^{2}-3x-9>0.

Passo 8

Resolver x^{2}-3x-9>0. Primeiro achar as raízes da quadrática x^{2}-3x-9=0. Calcular o discriminante:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-9)=9+36=45.
As raízes são
x=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}{2}=\dfrac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}.
Numericamente, \dfrac{3-3\sqrt{5}}{2}\approx -1{,}854 e \dfrac{3+3\sqrt{5}}{2}\approx 4{,}854.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, então x^{2}-3x-9>0 quando
x<\dfrac{3-3\sqrt{5}}{2}\quad\text{ou}\quad x>\dfrac{3+3\sqrt{5}}{2}.

Passo 9

Interseção com o domínio D=(4,\infty). Da solução do passo anterior, a única parte que se intercepta com D é
x>\dfrac{3+3\sqrt{5}}{2},
porque \dfrac{3+3\sqrt{5}}{2}\approx4{,}854>4. A outra faixa x<\dfrac{3-3\sqrt{5}}{2} fica fora do domínio. Portanto o conjunto de x\in D que satisfaz f(x)>1 é
\left(\dfrac{3+3\sqrt{5}}{2},\infty\right).

Resposta

D=(4,\infty)
\varnothing
\displaystyle \left(\dfrac{3+3\sqrt{5}}{2},\infty\right)

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