Q2
Seja
a função definida por
(a) Determine o domínio
da função
.
(b) Determine o conjunto de todos os valores de
tais que
.
(c) Determine o conjunto de todos os valores de
tais que
.
(b) Determine o conjunto de todos os valores de
(c) Determine o conjunto de todos os valores de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
As perguntas são:
(a) Determinar o domínio da função
.
(b) Determinar todos os tais que
.
(c) Determinar todos os tais que
.
(a) Determinar o domínio
(b) Determinar todos os
(c) Determinar todos os
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão do logaritmo tem base
e argumento . - Para que o logaritmo esteja bem definido é necessário que a base e o argumento satisfaçam certas condições (essas condições serão explicitadas no próximo passo).
Passo 2
Condição geral para logaritmos (aula curta e necessária).
Para que esteja definido (onde
é a base e
o argumento) é preciso:
Para que
- A base
seja positiva: . - A base não seja
: . - O argumento seja positivo:
.
Aqui temos
e
. Vou aplicar as três condições acima a essas expressões.
Passo 3
Aplicando as condições à base
:
-
implica
-
implica
Juntas, essas duas condições dizem que
e
. Mas vamos ainda intersectar com a condição do argumento.
Passo 4
Condição do argumento:
. Vou resolver essa desigualdade quadrática passo a passo.
Primeiro fatorar o polinômio:
A desigualdade
vale quando os fatores têm o mesmo sinal. As raízes são
e
. Pelo teste de sinais para um produto de fatores lineares, a solução é
Passo 5
Agora intersectar as condições da base (Passo 3) com as do argumento (Passo 4). Temos:
- Base:
e . - Argumento:
ou .
A interseção de
com
é vazia (porque não existe número que seja ao mesmo tempo maior que
e menor que
). Portanto a única possibilidade que resta é a interseção de
com
, que é simplesmente
. O fato de
já está garantido por
. Logo o domínio é
Passo 6
Parte (b): resolver
com a restrição
.
Transformar a equação logarítmica em forma exponencial:
Agora resolver a equação:
Subtrair
dos dois lados:
Passando termos:
Logo
Verificar se essa solução está no domínio
: claramente
. Portanto não há soluções em
.
Passo 7
Parte (c): resolver
com
.
Como
implica
, temos
. Ou seja, a base do logaritmo é maior que
. Para logaritmos com base
a função
é crescente em
. Portanto
porque elevando a base (monótona crescente), a desigualdade entre os argumentos se mantém.
Resolver a desigualdade resultante:
Passar tudo para o lado esquerdo:
Passo 8
Resolver
. Primeiro achar as raízes da quadrática
. Calcular o discriminante:
As raízes são
Numericamente,
e
.
Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima, então
quando
Passo 9
Interseção com o domínio
. Da solução do passo anterior, a única parte que se intercepta com
é
porque
. A outra faixa
fica fora do domínio. Portanto o conjunto de
que satisfaz
é