Q35.10 Um estudante universitário que gosta de decorar fórmulas sem entendê-las combina a Equação 35.4 com a 35.13
para “provar” que
pode somente ser igual a
. Como você explicaria para esse aluno que
pode assumir qualquer valor além de
?
para “provar” que
Passo 1
O enunciado diz que um estudante combinou a Equação 35.4 com a 35.13 e “provou” que
só pode ser igual a
. A tarefa aqui é explicar por que isso está errado: mostrar por que
pode assumir outros valores além de
.
Informações relevantes que o enunciado nos dá (resumidas do erro do estudante):
- Ao combinar as duas equações o estudante chegou a uma relação do tipo
(ou a uma igualdade entre exponenciais complexas). - A conclusão usada pelo estudante foi então
.
O que temos que explicar: por que essa dedução é falha (ou incompleta) e em que sentido
pode ser diferente de
.
Passo 2
Entendendo a matemática básica por trás do erro: a função exponencial complexa
é periódica com período
. Isso significa concretamente que
para qualquer inteiro
. Assim, a igualdade entre duas exponenciais complexas
implica somente que
Explicar o que isso quer dizer: se uma equação fixa o valor de
(ou fixa
igual a algum número do círculo unitário), então ela não fixa
de forma única; ela fixa
apenas módulo
.
Passo 3
Onde o estudante costuma errar (duas causas típicas):
- Tomar o logaritmo “normal” de uma igualdade entre exponenciais sem lembrar que o logaritmo complexo é multivalorado. Fazer
sem acrescentar os é cometer uma perda de soluções. A forma correta é
ou seja
.
2) Usar simultaneamente duas formulações que não valem na mesma situação (por exemplo, uma equação que assume condição de contorno simples e outra que dá uma condição “torcida”
). Se as duas equações são aplicáveis ao mesmo objeto, aí sim chega-se a
e, desse caso particular, a
. Mas muitas vezes uma das equações já incorpora um efeito (por exemplo presença de um potencial vetorial ou fluxo magnético) que torna inválida a outra, logo não se pode combiná‑las.
2) Usar simultaneamente duas formulações que não valem na mesma situação (por exemplo, uma equação que assume condição de contorno simples
Passo 4
Um contraexemplo numérico simples (para fixar a intuição): escolha
. Então
Se a sua combinação de equações realmente obrigasse
,
seria proibido. Mas existem situações físicas e matemáticas em que
(ou qualquer outro valor real) é perfeitamente permitido — o que mostra que a dedução do estudante perdeu hipóteses ou aplicou a operação de logaritmo de forma incorreta.
Passo 5
Exemplo físico que clarifica (modo de pensar útil na prova): considere uma função de onda numa circunferência com um fluxo magnético
atravessando o anel. O contorno pode produzir uma fase
e a condição de contorno é do tipo
O fluxo
pode variar continuamente, logo
também pode ser qualquer número real — não está restrito a múltiplos de
. O que é observado experimentalmente costuma ser algo periódico em
(período
), ou seja, apenas
é a quantidade fisicamente relevante; mas isso não impede
de assumir qualquer valor real, só identifica
módulo
.
Passo 6
Resumo prático para a hora da prova (como convencer o colega que decorou errado):
- Verifique exatamente o que cada equação afirma e as hipóteses por trás delas. Não use duas relações que dependem de hipóteses incompatíveis.
- Se aparecer uma igualdade entre exponenciais complexas, lembre que ao passar para
deve-se acrescentar os : não existe inversa única de em . - Conclua: as equações podem fixar
(a classe de módulo ), mas não obrigam a ser exatamente , a menos que exista uma condição adicional que force .
Resposta
A combinação das equações fixa
, não
em si. Como
é
-periódica, ter
implica
. Só se
(condição extra) então
; caso contrário
pode ser qualquer valor real, definido apenas módulo
.