Q36. Um projétil de 10 g é disparado contra um alvo de 1,2 \mathrm{~kg} que está sobre uma mesa sem atrito. Um projétil atravessa o alvo e sai com velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} pelo outro lado. O alvo adquire a velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcular a velocidade inicial do projétil e a energia dissipada durante a travessia do alvo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas. Dados fornecidos:
  • massa do projétil: m_p=0{,}01\\ \mathrm{kg} (10 g).
  • massa do alvo: m_a=1{,}2\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade do projétil após atravessar o alvo: v'_p=100\\ \mathrm{m/s}.
  • velocidade adquirida pelo alvo após o impacto: v_a=4\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas do enunciado:
  1. Calcular a velocidade inicial do projétil antes do choque (vou chamar de v_{p0}).
  2. Calcular a energia dissipada durante a travessia do alvo (energia perdida transformada em calor, deformação etc.).

Passo 2

Idea física que vamos usar para começar (explicando a fórmula): quando não há forças externas horizontais agindo durante o intervalo do choque, a quantidade total de movimento linear (momentum) na direção do movimento é conservada. A expressão da conservação do momentum é
m_p v_{p0}=m_p v'_p + m_a v_a,
onde:
  • m_p é a massa do projétil,
  • v_{p0} é a velocidade inicial do projétil (desconhecida),
  • v'_p é a velocidade do projétil depois do choque,
  • m_a é a massa do alvo,
  • v_a é a velocidade do alvo depois do choque.
    Esta equação diz: “momentum inicial do sistema = soma dos momenta das duas massas após o evento”.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos na equação da conservação do momentum e isolamos v_{p0}. Escrevendo a equação:
m_p v_{p0}=m_p v'_p + m_a v_a.
Isolando v_{p0}:
v_{p0}=\frac{m_p v'_p + m_a v_a}{m_p}.

Passo 4

Fazer as contas passo a passo (mostrando cada termo):
  • Primeiro calcule m_p v'_p:
m_p v'_p = 0{,}01\cdot 100 = 1\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Em seguida calcule m_a v_a:
m_a v_a = 1{,}2\cdot 4 = 4{,}8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Soma dos momenta após o choque:
m_p v'_p + m_a v_a = 1 + 4{,}8 = 5{,}8\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Finalmente divide pela massa do projétil:
v_{p0}=\frac{5{,}8}{0{,}01}=580\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora vamos calcular a energia dissipada. Primeiro a fórmula de energia cinética e o que cada símbolo significa: a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde K é a energia em joules, m em quilogramas e v em metros por segundo. A energia dissipada é a diferença entre a energia cinética inicial do sistema e a energia cinética total final (projétil + alvo):
E_{\text{diss}}=K_{\text{inicial}} - (K_{\text{proj,final}} + K_{\text{alvo,final}}).

Passo 6

Calcular cada termo da energia cinética passo a passo.
  • Energia cinética inicial do projétil (antes do choque), usando v_{p0}=580\\ \mathrm{m/s}:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m_p v_{p0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}01\cdot 580^{2}.
Compute 580^{2}=336\,400. Então
K_{\text{inicial}}=0{,}005\cdot 336\,400 = 1\,682\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética do projétil depois de atravessar o alvo:
K_{\text{proj,final}}=\tfrac{1}{2} m_p v'_{p}{}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}01\cdot 100^{2} = 0{,}005\cdot 10\,000 = 50\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética do alvo depois do choque:
K_{\text{alvo,final}}=\tfrac{1}{2} m_a v_a^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 4^{2} = 0{,}6\cdot 16 = 9{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Somar as energias finais e subtrair da inicial para obter a energia dissipada:
K_{\text{final,total}}=K_{\text{proj,final}}+K_{\text{alvo,final}}=50 + 9{,}6 = 59{,}6\\ \mathrm{J}.
E_{\text{diss}}=K_{\text{inicial}}-K_{\text{final,total}} = 1\,682 - 59{,}6 = 1\,622{,}4\\ \mathrm{J}.
Resultado interpretado: cerca de 1{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{J} foram dissipados (transformados em calor, som, deformação do projétil e do alvo, etc.).

Resposta

v_{p0}=580\\ \mathrm{m/s}\n E_{\text{diss}}=1\,622{,}4\\ \mathrm{J}

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